设O是四面体内一点且有 OA+2OB+3OC+4OD=0（向量）,求四面体OBCD与ABCD体积比

设O是四面体内一点且有 OA+2OB+3OC+4OD=0（向量）,求四面体OBCD与ABCD体积比

用混合积.知:
ABCD的体积Va=(1/6)| [AB AC AD] |
OBCD的体积Vo =(1/6)| [OB OC OD] |
记OA =a,OB = b,OC= c,OD= d.
有:AB=AO+OB =b-a,AC= c-a,AD =d-a.
故:[AB AC AD] =[b-a c-a d-a] 按性质它可分成8个混合积之和,
但凡有重复因子的其值为0.故有:
:[AB AC AD] =[b-a c-a d-a]= [-a c d]+ [b -a d] + [b c -a]+[b c d]
又由已知,得:-a =2b+3c+4d,
有::[AB AC AD] =[b-a c-a d-a]= [-a c d]+ [b -a d] + [b c -a] +[b c d]
= [(2b+3c+4d ) c d]+ [b (2b+3c+4d ) d] + [b c (2b+3c+4d )] +[b c d]
再依性质拆分,并注意有重复因子的项为0,
得:[AB AC AD] =[b-a c-a d-a]= [-a c d]+ [b -a d] + [b c -a] +[b c d]
= [(2b ) c d]+ [b (3c ) d] + [b c (4d )] +[b c d]
=2[b c d] + 3[b c d] + 4[b c d] +[b c d]= 10[b c d] =10[OB OC OD]
得Va=(1/6)|[AB AC AD]|=(1/6)*10|[OB OC OD] | = 10*Vo
即:四面体OBCD与ABCD体积比为:1:10
再问： 看不懂你写的，但我们老师说这道题用特殊值做最简便，就是设三棱互相垂直，但是后面的我搞忘怎么做了，你能讲一讲吗？？
再答： 如果是高中,则没学过.就不要看这个方法了.
再问： 我是高中生啊，就看不懂你写的，能用特殊值法做吗
再答： 以下用特殊值的方法.设AB垂直于BC, AB垂直于BD. 且O点在AB上. 这时有:AB,OB,AO为共线向量. AB= AO +OB = 2OB+ 3OC +4OD +OB =3OB +3OC +4OD. 而:OC=OB+BC, OD =OB+BD. 故:AB=3OB+3OC+4OD = 3OB +3(OB+BC)+4(OB+BD) =10OB +3BC +4BD 考察:AB*AB (点积),注意到:AB*BC =0, AB*BD=0.AB*AB=|AB^|2. AB*AB=AB*{10OB +3BC +4BD} 得|AB|^2=10OB*AB =10|OB|*|AB| (AB*OB= |AB|*|OB|*cos0 =|AB|*|OB| ) 即得|AB|=10|OB| 注意到四面体OBCD,与ABCD同底,(三角形BCD)故其高的比,即为其体积之比. 即知结论 ,体积比为, 1:10.