已知抛物线L：x2=2py（p＞0）和点M（2，2），若抛物线L上存在不同的两点A、B满足AM+BM=0．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/23 11:51:31

已知抛物线L：x²=2py（p＞0）和点M（2，2），若抛物线L上存在不同的两点A、B满足

（1）设A，B两点的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
∵

AM+

BM＝0，查得M为AB的中点，即x₁+x₂=4．显然直线AB与x轴不垂直，
设直线AB的方程为y-2=k（x-2），
即y=kx+2-2k，将y=kx+2-2k代入x²=2py中，得x²-2pkx+4（k-1）p=0．
∴

△＝4p2k2−16(k−1)p＞0
x1+x2＝2pk＝4，∴p＞1，故p的取值范围为（1，+∞）．
（2）当p=2时，由（1）求得A，B的坐标分别为A（0，0），B（4，4）．
假设抛物线L：x²=4y上存在点C(t，
t2
4)（t≠0且t≠4），
使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．设圆的圆心坐标为N（a，b），
∵

|NA|＝|NB
|NA|＝|NC，∴

a2+b2＝
(a−4)2+(b−4)2

a2+b2＝
(a−t)2+(b−
t2
4)2
即

a+b＝4
4a+tb＝2t+
1
8t3解得

a＝−
t2+4t
8
b＝
t2+4t+32
8．
∵抛物线L在点C处切线的斜率为k＝y′|x＝t＝
t
2，而t≠0，且该切线与NC垂直，
∴
b−
t2
4
a−t•
t
2＝−1．
即2a+bt−2t−
1
4t3＝0．
将a＝−
t2+4t
8，b＝
t2+4t+32
8代入上式，得t³-2t²-8t=0，
即t（t-4）（t+2）=0．
∵t≠0且t≠4，
∴t=-2．故存在满足题设的点C，其坐标为（-2，1）．

已知抛物线x＾2=2py(p＞0),过动点M(0,a),且斜率为1的直线L与该抛物线交于不同两点A,B,｜AB｜≤2p 如图，设抛物线方程为x2=2py（p＞0），M为直线l：y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A、B．（2010•宁波二模）已知抛物线C：x2=2py，过点A（0，4）的直线l交抛物线C于M，N两点，且OM⊥ON．已知抛物线x2=2py（p＞0）经过点（2，12），直线l的方程为y=-1．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）与直线y=x-1相切，且知点F（0，1）和直线l：y=-1，若动点P在抛物线C上（除设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点. 已知抛物线x2=2py（p为常数，p≠0）上不同两点A、B的横坐标恰好是关于x的方程x2+6x+4q=0（q为常数）的两已知抛物线x^2=2py(P>0)的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,A、B两点的横坐标之积为定值-4 过抛物线y^2=2px（p>0)的焦点的直线l与抛物线交于A（x1,y1),B(x2,y2)两点,若点M（2,m)满足向已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F在直线l：x-y+1=0上如图，已知直线l：y=kx-2与抛物线C：x2=-2py（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，OA+OB＝(−4，−1 （2013•闸北区三模）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，点A（a，4）为抛物线C上的定点，点P为抛物线C