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设O是三角形ABC所在的平面内一点.求解数学题

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2022/08/14 02:03:35
设O是三角形ABC所在的平面内一点.求解数学题
设O是三角形ABC所在的平面内一点,向量OA=a,向量OB=b,向量OC=c,且a+b+c=0,a乘b=b乘c=c乘a=-1,则三角形ABC的面积
∵a+b+c=0
∴a+b=-c
即OA+OB=-OC
取AB中点为P
则OA+OB=2OP
∴OC=-2OP
∴C,O,P三点共线,且|OC|=2|OP|
CP是中线,那么O是三角形的重心

,a●b=b●c=c●a=-1
由OA●OB=OB●OC
得OA●OB-OB●OC=0
∴OB●(OA-OC)=0
∴OB●CA=0
同理有OC●AB=0
∴O是三角形垂心

那么三角形重心与垂心重合,三角形为正三角形
∵OA●OB=-1又=120º
∴|OA||OB|cos120º=-1
∴|OA||OB|=2

∴三角形面积
S=3SΔAOB
=3*1/2|OA||OB|sin120º
=3×1/2×2×√3/2
=3√3/2