答对加20.正四面体P-ABC中,D,E,F分别为PA,PB,AC中点,求证DE⊥DF.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 14:50:00

作PH⊥平面ABC,
∵PA=PB=PC,
∴AH=NH=CH,
H是△ABC中心（外、垂心）,
连结CH交AB于M,
则CM⊥AB,
根据三垂线定理,
PC⊥AB,
∵D,E,F分别为PA,PB,AC中点,
∴DF、DE分别是△APC和△PAB中位线,
∴DF//PC,DE//AB,
∴DE⊥DF.
也可以计算出线段长,设棱长为1,DE=1/2,DF=1/2,△PFB是等腰△,EF⊥PB,BF=√3/2,BE=1/2,
用勾股定理算出EF=√2/2,
DE^2+DF^2=1/2,
EF^2=1/2,
根据勾股定理逆定理可知△DEF是等腰RT△,
∴DE⊥DF.
再问：很好,谢谢, 可以用矢量解吗?已追加悬赏,非你莫属.
再答：可以，PH是平面ABC的法向量，则PH⊥AB，向量AB⊥PH，向量AB⊥CM，则向量AB是平面PMC的法向量， ∵PC∈平面PMC， ∴向量AB⊥PC，而向量DF//PC，向量DE//AB， ∴向量DE⊥DF。
再问：有些题目用矢量计算很方便,但该题似乎并没有明显区别.
再答：有时束手无策时，特别是二面角是钝角，投影在平面外时，建立空间坐标系有很大优势，本题建系要确立各点坐标反而更复杂，大可不必。

在三棱锥P-ABC中,PA垂直平面ABC,AB垂直AC,D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点,连接DE,DF,EF, 如图,在四面体P-ABC中,PA垂直平面ABC,AC垂直AB,且D、E、F、G分别为BC、PC、AB、PA的中点在等腰三角形ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,求证：如图在三角形abc中,D为BC中点,DE⊥DF,E,F分别在AB、AC上,求证:BE+FC>EF 四面体P-ABC中,∠ABC=90°,PA=PB=PC ,D是AC的中点,求证PD⊥面ABC 如图所示,在等腰直角三角形abc中,p是斜边上,pe⊥ab,pf⊥ac,垂足分别为e,f,d是bc中点.求证:de⊥df 在等腰直角三角形ABC中,P是斜边上一点,PE⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为E,F,D是BC中点,求证:DE⊥DF 已知,如图,在△abc中,点d是bc的中点,de⊥ab,df⊥ac,垂足分别为e,f,且de=df,求证;△abc是等腰在三角形ABC中AB＝AC,D为BC边的中点过点D作DE⊥ABDF⊥AC垂足分别为E、F求证DE＝DF 习题1.2T1：已知：在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE＝DF .求证:△A Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点,DE、DF分别交AC于E,交BC于F,且DE⊥DF．如果CA=CB,求证在三棱锥P-ABC中 PA=PB=PC D为AC中点正 PD⊥平面ABC