范数可以诱导出度量：d(x,y)=║x-y║,进而诱导出拓扑,因此赋范线性空间是度量空间.好像不需要拓扑?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 01:43:21

范数可以诱导出度量：d(x,y)=║x-y║,进而诱导出拓扑,因此赋范线性空间是度量空间.好像不需要拓扑?
如果用,大神可以给我详细说下怎么用的拓扑

目前我想确实可以先不管拓扑.一般说,如果知道一个空间里什么是开集,那么就等于知道了这个空间的拓扑.如果有个范数,那么就可以定义内点、开集之类的（就像欧氏空间一样）,那么就有了拓扑.只要有拓扑（就是知道了什么是开集）,就可以规定连续映射、紧致集合、收敛等等这些概念,当然如果有范数的话就可以不用管拓扑这回事,直接规定这些了.
但是,不同的范数时常会定义出相同的拓扑,比如,你看一个有限维的欧氏空间,随便给两个范数,他们规定出的拓扑是一样的,也就是说,用其中一个范数规定出来的开集,和用另一个范数规定出来的完全相同（这里,有限维空间的任何两个范数是等价的,所以他们规定的拓扑相同；一般地,完全有可能有不等价的范数,规定的拓扑也相同）.所以有时候大家觉得,如果要规定诸如连续、紧致一类的概念,用范数的话会包含一些冗余的信息（两个范数不同,但规定的拓扑却可以相同,那么我们如果只关注拓扑概念,诸如连续、连通、紧致一类的,就没有必要关注这两个范数如何不同了）,所以才会关注拓扑.
当然如果是学泛函的话,可能不是必须完全立刻全用拓扑的语言,就用范数来说也还好.

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