作业帮关于抛物线和椭圆的数学题.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 14:23:59
关于抛物线和椭圆的数学题.
抛物线Y^2=X上异于坐标原点O的两个不同动点A、B,且AO垂直BO,求三角形AOB的重心G的轨迹方程.
抛物线Y^2=X上异于坐标原点O的两个不同动点A、B,且AO垂直BO,求三角形AOB的重心G的轨迹方程.
令△AOB的重心坐标为（x,y）,AB的中点为D.
设点A的坐标为（m^2,m）,得：AO的斜率为1/m.
∵AO⊥BO,∴BO的斜率为－m,∴BO的方程是y＝－mx.
联立：y＝－mx、y^2＝x,消去y,得：m^2x^2＝x,∴x1＝0,x2＝1/m^2,∴y1＝0,y2＝－1/m.
∴点B的坐标是（1/m^2,－1/m）.
∴由中点坐标公式,得：AB中点D的坐标是（（m^2＋1/m^2）/2,（m－1/m）/2）.
∵G是△AOB的重心,∴OG/GD＝2.
∴由定比分点坐标公式,有：x＝［0＋（m^2＋1/m^2）］/3、 y＝［0＋（m－1/m）］/3,
∴m－1/m＝3y、 （m－1/m）^2＋2＝3x, 消去参数m,得：（3y）^2＋2＝3x,
∴y^2＝（1/9）（x－2/3）.
即：△AOB的重心G的轨迹方程是抛物线y^2＝（1/9）（x－2/3）.
设点A的坐标为（m^2,m）,得：AO的斜率为1/m.
∵AO⊥BO,∴BO的斜率为－m,∴BO的方程是y＝－mx.
联立：y＝－mx、y^2＝x,消去y,得：m^2x^2＝x,∴x1＝0,x2＝1/m^2,∴y1＝0,y2＝－1/m.
∴点B的坐标是（1/m^2,－1/m）.
∴由中点坐标公式,得：AB中点D的坐标是（（m^2＋1/m^2）/2,（m－1/m）/2）.
∵G是△AOB的重心,∴OG/GD＝2.
∴由定比分点坐标公式,有：x＝［0＋（m^2＋1/m^2）］/3、 y＝［0＋（m－1/m）］/3,
∴m－1/m＝3y、 （m－1/m）^2＋2＝3x, 消去参数m,得：（3y）^2＋2＝3x,
∴y^2＝（1/9）（x－2/3）.
即：△AOB的重心G的轨迹方程是抛物线y^2＝（1/9）（x－2/3）.