作业帮数学直线与双曲线交点问题.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/22 01:01:00
数学直线与双曲线交点问题.
过 整点 P作与双曲线 X平方-Y平方=3有且仅有一个公共点的直线L 若L恰好有3条,则点P的坐标是多少?
我觉得这题有问题啊 我觉得L至多就两条了 怎么会是3条呢?
过 整点 P作与双曲线 X平方-Y平方=3有且仅有一个公共点的直线L 若L恰好有3条,则点P的坐标是多少?
我觉得这题有问题啊 我觉得L至多就两条了 怎么会是3条呢?
分析如下
分情况讨论,
当点P在双曲线左支的左侧或右支的右侧时：
没有切线,满足条件的L只能是与渐近线斜率相等的直线,共两条
当点P在双曲线两支以内,但不在渐近线上时：
有两条切线,与渐近线斜率相等的直线有两条,共四条
当点P在双曲线的渐近线上时：
有一条切线,与渐近线斜率相等的直线有两条,其中一条与双曲线无交点,
也就是两条
当点P在原点时：
一条也没有
当点P在双曲线上时：
有一条切线,两条交线,故此时有三条
也就是说点P一定在双曲线上
目前解出来的点P共有四个：
分别是（2,1）,（-2,1）,
（2,-1）和（-2,-1）,过程正在组织
根据题意,可知双曲线的渐近线为y=x和y=-x
设点P的坐标为(a,b)
则过点P并与渐近线平行的直线为：
y=x+b-a和y=-x+a+b
1.当点P在双曲线左支的左侧或右支的右侧时：
点P恒不在渐近线上,此时
y=x+b-a和y=-x+a+b均与双曲线有一个交点,
而过点P的双曲线的切线不存在,
故只有两条符合条件的直线L,不合题意
2.当点P在双曲线左支右侧和右支左侧时：
①点P不在渐近线上,此时
y=x+b-a和y=-x+a+b均与双曲线有一个交点,
而过点P的双曲线的切线有两条,
故有四条符合条件的直线L,也不合题意
②点P在渐近线上,但不在原点上,此时
点P恒不在渐近线上,此时
y=x+b-a和y=-x+a+b中有一条与双曲线有一个交点,另一条无交点
而过点P的双曲线的切线有一条,
故只有两条符合条件的直线L,仍不合题意
③点P在原点上,此时
y=x+b-a和y=-x+a+b均与双曲线没有交点
而过点P的双曲线的切线不存在
故没有符合条件的直线L,仍不合题意
3.点P在双曲线上时：
点P恒不在渐近线上,此时
y=x+b-a和y=-x+a+b均与双曲线有一个交点,
而过点P的双曲线的切线只有一条,
故有三条符合条件的直线L,符合题意
这题分情况好晕啊,哪里来的题目啊
分情况讨论,
当点P在双曲线左支的左侧或右支的右侧时：
没有切线,满足条件的L只能是与渐近线斜率相等的直线,共两条
当点P在双曲线两支以内,但不在渐近线上时：
有两条切线,与渐近线斜率相等的直线有两条,共四条
当点P在双曲线的渐近线上时：
有一条切线,与渐近线斜率相等的直线有两条,其中一条与双曲线无交点,
也就是两条
当点P在原点时：
一条也没有
当点P在双曲线上时：
有一条切线,两条交线,故此时有三条
也就是说点P一定在双曲线上
目前解出来的点P共有四个：
分别是（2,1）,（-2,1）,
（2,-1）和（-2,-1）,过程正在组织
根据题意,可知双曲线的渐近线为y=x和y=-x
设点P的坐标为(a,b)
则过点P并与渐近线平行的直线为：
y=x+b-a和y=-x+a+b
1.当点P在双曲线左支的左侧或右支的右侧时：
点P恒不在渐近线上,此时
y=x+b-a和y=-x+a+b均与双曲线有一个交点,
而过点P的双曲线的切线不存在,
故只有两条符合条件的直线L,不合题意
2.当点P在双曲线左支右侧和右支左侧时：
①点P不在渐近线上,此时
y=x+b-a和y=-x+a+b均与双曲线有一个交点,
而过点P的双曲线的切线有两条,
故有四条符合条件的直线L,也不合题意
②点P在渐近线上,但不在原点上,此时
点P恒不在渐近线上,此时
y=x+b-a和y=-x+a+b中有一条与双曲线有一个交点,另一条无交点
而过点P的双曲线的切线有一条,
故只有两条符合条件的直线L,仍不合题意
③点P在原点上,此时
y=x+b-a和y=-x+a+b均与双曲线没有交点
而过点P的双曲线的切线不存在
故没有符合条件的直线L,仍不合题意
3.点P在双曲线上时：
点P恒不在渐近线上,此时
y=x+b-a和y=-x+a+b均与双曲线有一个交点,
而过点P的双曲线的切线只有一条,
故有三条符合条件的直线L,符合题意
这题分情况好晕啊,哪里来的题目啊