过点A(5,2)引直线交抛物线Y方=4X于不同的P,Q两点,交X轴于点M.设向量AM=入1向量AP=入2向量AQ
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/26 01:41:41
过点A(5,2)引直线交抛物线Y方=4X于不同的P,Q两点,交X轴于点M.设向量AM=入1向量AP=入2向量AQ
1,求证:入1×入2为定值
2,当A是线段PQ中点时,求入1的值及点M的横坐标.
1,求证:入1×入2为定值
2,当A是线段PQ中点时,求入1的值及点M的横坐标.
1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,0),直线方程为:y-2=k(x-5)(k不等于0),所以:
向量AM=(x0-5,-2)
向量AP=(x1-5,y1-2) λ1=-2/(y1-2)
向量AQ=(x2-5,y2-2) λ2=-2/(y2-2)
所以λ1λ2=4/[y1y2-2(y1+y2)+4]…………………………………………………式I
再联立直线方程和抛物线方程得到P和Q纵坐标必须满足的关系式:
ky²-4y+4(2-5k)=0
由根与系数的关系得到:y1+y2=4/k y1y2=4(2-5k)/k
把这两个式子代入式I,得到:
λ1λ2=-1/4
当k不存在时,直线方程为x=5,所以P(5,2√5),Q(5,-2√5),验算λ1λ2仍然满足以上关系,所以结论得证.
2.当A为PQ中点时,显然向量AP=-向量AQ,所以λ1=-λ2,解得:
|λ1|=|λ2|=1/2
由于A(5,2)为PQ的中点,所以(y1+y2)/2=2
结合第1问的讨论:y1+y2=4/k
比较两式得到:k=1
即直线方程为:y=x-3
得到直线与x轴交点M的横坐标x0=3
向量AM=(x0-5,-2)
向量AP=(x1-5,y1-2) λ1=-2/(y1-2)
向量AQ=(x2-5,y2-2) λ2=-2/(y2-2)
所以λ1λ2=4/[y1y2-2(y1+y2)+4]…………………………………………………式I
再联立直线方程和抛物线方程得到P和Q纵坐标必须满足的关系式:
ky²-4y+4(2-5k)=0
由根与系数的关系得到:y1+y2=4/k y1y2=4(2-5k)/k
把这两个式子代入式I,得到:
λ1λ2=-1/4
当k不存在时,直线方程为x=5,所以P(5,2√5),Q(5,-2√5),验算λ1λ2仍然满足以上关系,所以结论得证.
2.当A为PQ中点时,显然向量AP=-向量AQ,所以λ1=-λ2,解得:
|λ1|=|λ2|=1/2
由于A(5,2)为PQ的中点,所以(y1+y2)/2=2
结合第1问的讨论:y1+y2=4/k
比较两式得到:k=1
即直线方程为:y=x-3
得到直线与x轴交点M的横坐标x0=3
已知抛物线C:y^2=2px(p>0)过点A(1,2),不过点A的直线l:x=my+n交抛物线C于P,Q两点,且向量AP
已知a(1/4,0),b(4,0),点b是y轴上的动点,过点b做ab的垂线l交X轴于点q,若向量Ap+向量Aq=2向量a
抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,经过A(2,2)设过A的直线交x轴于M点,交抛物线于B,AM向量=λMB向量,(1
已知点A(1,0),椭圆x²/4+y²/3=1,过点A作直线交椭圆于P,Q两点,向量AP=向量2QA
圆O:x^2+y^2=4内一点P(0,1),过点P的直线l交圆O于A,B两点,且满足向量AP=2向量PB,求直线的方程当
过点M(-2,0),作直线l交双曲线x^2-y^2=1于A,B不同两点,已知向量OP=向量OA +向量OB①求点P的轨迹
已知圆O:x^2+y^2=4内一点P(0,1),过点P的直线l交圆O于A,B两点,且满足向量AP= λ向量PB(λ为常数
已知椭圆x^2/25+y^2/9=1,过椭圆的右焦点的直线交椭圆于A,B两点,交Y轴于点P,设PA向量=k1AF向量,
已知直线l过点D(-2,0),且与圆x^2/2+y^2=1交于不同的两点A,B,若向量OP=向量OA+向量OB,求点P的
已知点A(1,0),椭圆CX^2/4+Y^2/3=1,过点A作直线交椭圆于P,Q两点,向量AP=2向量QA则直线PQ的斜
一直线l经过点P(-5,4),分别交x轴,y轴于A、B两点,且向量AP=1/2倍向量PB,求此直线的方程.
过抛物线C:x方=4y的焦点做斜率为一的直线交C于A,B两点,M是x轴上的动点,则向量MA乘以向量MB的最小值为