如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=4，PA=3，A点在PD上的射影为G点，

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 07:54:58

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=4，PA=3，A点在PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC．

（Ⅰ）求证：AG∥平面PEC；
（Ⅱ）求AE的长；
（Ⅲ）求二面角E-PC-A的正弦值．

（Ⅰ）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG，
又PD⊥AG
∴AG⊥平面PCD           …（2分）
作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD∴EF∥AG
又AG⊄面PEC，EF⊂面PEC，
∴AG∥平面PEC     …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD∴AE∥平面PCD
∴AE∥GF∴四边形AEFG为平行四边形，∴AE=GF       …（5分）
∵PA=3，AB=4∴PD=5，AG=
12
5，
又PA²=PG•PD∴PG=
9
5…（6分）
又
GF
CD=
PG
PD∴GF=

9
5×4
5=
36
25∴AE=
36
25…（8分）
（Ⅲ）过E作EO⊥AC于O点，易知EO⊥平面PAC，
又EF⊥PC，∴OF⊥PC∴∠EFO即为二面角E-PC-A的平面角  …（10分）EO=AE•sin45°=
36
25×

2
2=
18
2
25，又EF=AG=
12
5
∴sin∠EFO=
EO
EF=
18
2
25×
5
12=
3
2
10…（13分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=4，PA=3，A点在PD上的射影为G点，如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,P点在平面ABCD内的射影为A,且PA=AB=2,E为PD中点如图,在四棱锥P－ABCD中,PA垂直于平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PA＝AB＝4,G为PD中点,E点在AB上如图,在四棱锥P-ABCD中,PA=AB=AD=1,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,求四棱锥的表面积如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．求证：如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,P点在平面ABCD内的射影为A,则二面角在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB垂直AC.PA垂直平面ABCD,且PA=AB,点E是PD的中点在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB垂直AC,PA垂直平面ABCD,且PA=AB,点E是PD中点如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA=PD,PA垂直PD,PA垂直平面PDC, E为棱PD的中点如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．在四棱锥P-ABCD中,PD垂直于底面ABCD,底面ABCD为正方形,M为PC的中点,PD=AB,求证PA平行平面MBD 如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,点E,F分别为AB、PD的中点