已知ABCD是正方形,BE平行AC且AFEC为菱形.求证：AE、AF、三等分∠BAC.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 17:00:52

证明：延长DC交BE于M；从F作FN⊥AC于N
ABCD是正方形,所以CM∥AB.
又因为BE∥AC,所以四边形ABMC为平行四边形
因此CM=AB
CM∥AB,所以∠ABF=∠CME
AFEC为菱形,所以∠AFB=∠CEM
所以△ABF≌△CME,因此面积相等
S平行四边形ABMC=S菱形AFEC-S△CME+S△ABF
所以平行四边形ABMC和菱形AFEC面积相等
设正方形边长为a,则对角线AC为√2a,
S平行四边形ABMC=AB×BC=a²
SAEFC=AC×FN=√2a×FN=a²
FN=√2a/2=AC/2
所以∠CAF=30度
因为AC正方形对角线,所以∠CAB=45
因此∠FAB=15
AFEC为菱形,AE平分一组对角,所以∠CAE=∠FAE=15
可以看到,AF、AE三等分∠BAC
再问： √2a/2 请问这个怎样计算。从F作FN⊥AC于N，点N和C不一定在同一点啊，怎么会一定组成△CAF，然后说所以∠CAF=30度呢？　　不明白
再答：根据平行四边形和菱形面积相等用a²（面积）÷√2a(底边AF长）得到的得出的这个结果不用再计算，只要看到结果是AF的一半，就可以推出∠CAF为30度了顺便说一下，解答中“FN=√2a/2=AC/2，所以∠CAF=30度”，中间我漏掉了所以FN=AF/2
再问：一头雾水。。。请问这题是初二题还是。。。
再答：是初二的题目，学习四边形这一章的我教的是北师大版本，其他版本是不是安排在初二上学期就不知道了你先掌握下菱形和正方形的性质，然后掌握下等腰直角三角形和有30度角的直角三角形的三边比例关系再来看，应该就可以明白了
再问：呵呵现在初三看回这题才完全明白了，我觉得这一题很难啊我不知道答案肯定不会做，怎么会想到做这个辅助线然后证明∠CAF=30度呢？
再答：因为∠BAC=45，所以等分成的三部分都是15度但15度不是特殊角，因此想到15度的二倍是30度其他思路分析过程源于平时的积累

如图所示,已知四边形ABCD是正方形,四边形AFEC是菱形,E,F,D在一直线上,求证：AE,AF三等分∠CAD. 如图,已知四边形ABCD是正方形,四边形AFEC是菱形,E、F、D在一条直线上,求证AE,AF 已知正方形abcd,菱形acef,连接af,de,ae,e,f,d在一直线上,求证：ae,af三等分角cad 已知点E、F在正方形ABCD的对角线AC上,且AE=CF.求证：四边形BFDE是菱形. 如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且AF平分∠DAE．求证：AE=DF+BE．已知四边形ABCD是正方形,连接AC,作BE平行于AC,AE=AC,AE交BC于点F,求证CE=CF 如图,在菱形ABCD中,点E,F为BC上两点,且BE=CF,AF=DE,求证四边形ABCD是正方形已知abcd是正方形,BE平行于AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于F,使用向量法证明AF=AE. 已知四边形ABCD是正方形,BE=AF,求证：CE²=AE（AH+HE）正方形ABCD的边长为1,AC是对角线,AE平分角BAC,EF垂直AC,1求证BE=EF2求BE的边长正方形ABCD中BE平行AC,且AE=AC交BC与F求证CF等于CE 如图,菱形ABCD中E是BC上一点,且AE=AB,∠EAD=2∠BAE.求证:BE=AF