作业帮求救!一道数分证明题!
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/29 04:36:31
求救!一道数分证明题!
函数f(x)在无穷区间[a,﹢∞)内一致连续的充要条件是：f(x)的导函数f'(x)在[a,﹢∞)上有界（必要性是错的）（能举出反例了,但有个证明看不出哪里错了）
必要性的证明：反正法,假设f'(x)在区间上无界,由f(x)在区间内一致连续可得,取ε=1,则存在δ＞0,当|x1-x2|＜δ,有|f(x1)-f(x2)|＜1,由于可导,有对于x属于[a,＋∞﹚,有f(x+δ／2﹚－f﹙x﹚=f'(x)δ／2﹢0(δ／2﹚,由无界得,设M=（4+δ)／δ,存在x0属于[a,＋∞﹚,|f'(x0)|＞M,则有1＞|f(x0+δ／2﹚﹣f﹙x0﹚|=|f'(x0)δ／2＋0﹙δ／2﹚|＞|f'(x0)δ／2|－|0﹙δ／2﹚|＞2＋δ／2－|0﹙δ／2﹚|
函数f(x)在无穷区间[a,﹢∞)内一致连续的充要条件是：f(x)的导函数f'(x)在[a,﹢∞)上有界（必要性是错的）（能举出反例了,但有个证明看不出哪里错了）
必要性的证明：反正法,假设f'(x)在区间上无界,由f(x)在区间内一致连续可得,取ε=1,则存在δ＞0,当|x1-x2|＜δ,有|f(x1)-f(x2)|＜1,由于可导,有对于x属于[a,＋∞﹚,有f(x+δ／2﹚－f﹙x﹚=f'(x)δ／2﹢0(δ／2﹚,由无界得,设M=（4+δ)／δ,存在x0属于[a,＋∞﹚,|f'(x0)|＞M,则有1＞|f(x0+δ／2﹚﹣f﹙x0﹚|=|f'(x0)δ／2＋0﹙δ／2﹚|＞|f'(x0)δ／2|－|0﹙δ／2﹚|＞2＋δ／2－|0﹙δ／2﹚|
小o用错了,用小o必须是当delta趋于0时才成立,但证明中的delta是定值,不是变量.
再问： 是不是从“设M=（4+δ)／δ,存在x0属于[a,＋∞﹚，|f'(x0)|＞M”看出δ／2是定值？
再答： 不是，一开始就是定值。从这句话开始“由f(x)在区间内一致连续可得，取ε=1，则存在δ＞0”，只要e取定，那么delta就取定了。
再问： 这是定了吗？不是比δ小的δ都可以吗？
再答： 那你没明白一致连续的意思。当e取定后，delta必须取定（尽管比你的delta小的数也可以，但后面关于函数值之间大小关系的不等式是在前面取定的delta的前提条件下才有，delta没取定，后面的不等式就没有意义）。你应该翻看一下你们课堂上讲e－N语言，e－delta语言时N和delta与e的关系，老师肯定要讲清楚这个的，e取定后，N和delta就是定的。
再问： 噢这个不是其中的一个δ而已吗？后面关于函数值之间大小关系的不等式不是根据X1和X2来说的吗？条件中不就只是存在一个δ么？
再答： 是其中的一个，但你得取定其中的一个。只有你取定了一个后，后面的那些话才能成立，你才可以继续进行其它的证明。
再问： 哦你的意思是不是说要定下一个δ，让|x1-x2|变化有个范围，那后面的关于函数值之间大小关系的不等式才能有个确切的范围，这样才能比较？
再答： 可以这么说。实际上这就是逻辑推理的先后关系。逻辑上说你得先确定delta，确定了delta，x1 x2的距离关系才有意义，后面的不等式也才有意义。数列极限，函数极限，一致连续等用e－delta语言定义的都是这种逻辑关系，只要e给定，N delta就必须是确定的。
再问： 哦恍然大悟啊，原来我一直学极限时候都忽略了这东西，我比较笨，我不是数学专业的，自学了数分，希望你不要介意我问了这么多低级的问题，谢谢你啊！真是好人啊！
再问： 是不是从“设M=（4+δ)／δ,存在x0属于[a,＋∞﹚，|f'(x0)|＞M”看出δ／2是定值？
再答： 不是，一开始就是定值。从这句话开始“由f(x)在区间内一致连续可得，取ε=1，则存在δ＞0”，只要e取定，那么delta就取定了。
再问： 这是定了吗？不是比δ小的δ都可以吗？
再答： 那你没明白一致连续的意思。当e取定后，delta必须取定（尽管比你的delta小的数也可以，但后面关于函数值之间大小关系的不等式是在前面取定的delta的前提条件下才有，delta没取定，后面的不等式就没有意义）。你应该翻看一下你们课堂上讲e－N语言，e－delta语言时N和delta与e的关系，老师肯定要讲清楚这个的，e取定后，N和delta就是定的。
再问： 噢这个不是其中的一个δ而已吗？后面关于函数值之间大小关系的不等式不是根据X1和X2来说的吗？条件中不就只是存在一个δ么？
再答： 是其中的一个，但你得取定其中的一个。只有你取定了一个后，后面的那些话才能成立，你才可以继续进行其它的证明。
再问： 哦你的意思是不是说要定下一个δ，让|x1-x2|变化有个范围，那后面的关于函数值之间大小关系的不等式才能有个确切的范围，这样才能比较？
再答： 可以这么说。实际上这就是逻辑推理的先后关系。逻辑上说你得先确定delta，确定了delta，x1 x2的距离关系才有意义，后面的不等式也才有意义。数列极限，函数极限，一致连续等用e－delta语言定义的都是这种逻辑关系，只要e给定，N delta就必须是确定的。
再问： 哦恍然大悟啊，原来我一直学极限时候都忽略了这东西，我比较笨，我不是数学专业的，自学了数分，希望你不要介意我问了这么多低级的问题，谢谢你啊！真是好人啊！