已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,求证它的对角线相互垂直.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 13:02:43

设顶点依次为 A,B,C,D.对角线的交点为O.
根据三角形边长定理：
AB^2=AO^2+OB^2-2AO*OB*COS<AOB
BC^2=BO^2+OC^2-2BO*OC*COS<BOC
CD^2=CO^2+OD^2-2CO*OD*COS<COD
DA^2=DO^2+OA^2-2DO*OA*COS<DOA
又应为：AB^2+CD^2=BC^2+DA^2
所以：AO^2+OB^2-2AO*OB*COS<AOB+CO^2+OD^2-2CO*OD*COS<COD=
BO^2+OC^2-2BO*OC*COS<BOC+DO^2+OA^2-2DO*OA*COS<DOA
整理得：AO*OB*COS<AOB+CO*OD*COS<COD=DO*OA*COS<DOA+BO*OC*COS<BOC
又因为对角相等： (AO*OB+CO*OD)*COS<AOB=(DO*OA+BO*OC)*COS<BOC
然后分类讨论,(AO*OB+CO*OD)=(DO*OA+BO*OC)的情况,这里得两角相等,相邻角和180,所以90
或者,(AO*OB+CO*OD)不=(DO*OA+BO*OC),那COS<AOB=0,<AOB=90

圆内接四边形对角线互相垂直,求证：(1)一组对边的平方和等于另一组对边的平方和一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,则称这个四边形为等平方和四边形用向量方法证明空间四边形对角线相互垂直的充要条件是对边平方和相等用向量法证明：空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等圆内接四边形的证明已知某四边形对边平方和相等求证它有外接圆..问了很多人用空间向量法证明：空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等用于弦定理证明：平行四边形两条对角线的平方和等于它各边的平方和求证:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.（注:要画图,还要写已知求证）证明:在任意四边形中,各边的平方和等于两对角线的平方和加上4倍对角线中点连线段的平方用向量证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四边形的平方和．求证：平行四边形对角线的平方和等于两邻边的平方和的两倍求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．