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设函数f（x）满足：①对任意实数m，n都有f（m+n）+f（m-n）=2f（m）f（n）；②对任意m∈R，有f（1+m）

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/16 07:04:35
设函数f（x）满足：
①对任意实数m，n都有f（m+n）+f（m-n）=2f（m）f（n）；
②对任意m∈R，有f（1+m）=f（1-m）；
③f（x）不恒为0，且当x∈（0，1]时，f（x）＜1．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并给出你的证明；
（3）定义：“若存在非零常数T，使得对函数F（x）定义域中的任意一个x，均有F（x+T）=F（x），则称F（x）为以T为周期的周期函数”．试证明：函数f（x）为周期函数，并求出f(
1
3
)+f(
2
3
)+f(
3
3
)+…+f(
2017
3
)
（1）由于f（x）不恒为0，故存在x0，使f（x0）≠0，令m=x0，n=0，
则f（x0）+f（x0）=2f（x0）f（0），
则f（0）=1．令m=n=1，则f（2）+f（0）=2f2（1），
又f（0）=f（2），则f2（1）=1，则f（1）=±1，
由已知，f（1）＜1，故f（1）=-1；
（2）令m=0，n=x，得，f（x）+f（-x）=2f（0）f（x）=2f（x），
即有f（-x）=f（x），即有f（x）为偶函数；
（3）由f（1+m）=f（1-m）得f（-x）=f（2+x），又f（x）为偶函数，
则f（x+2）=f（x），即f（x）以2为周期的周期函数，
令m=n=
1
3，f（
2
3）+f（0）=2f2（
1
3），即f（
2
3）+1=2f2（
1
3），
再令m=
2
3，n=
1
3得，f（1）+f（
1
3）=2f（
2
3）f（
1
3），即f（
1
3）-1=2f（
2
3）f（
1
3）．
而f（
2
3）＜1，解得，f（
1
3）=
1
2，f（
2
3）=-
1
2，由条件得，f（
1
3）=f（
5
3），f（
2
3）=f（
4
3），
故f（
1
3）+f（
2
3）+…+f（
6
3）=0，f（x）以2为周期的周期函数，
则f(
1
3)+f(
2
3)+f(
3
3)+…+f(
2017
3)=336×0+f（
2017
3）=f（
1
3）=
1
2．
已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n） 已知函数f(x)对任意实数m,n都有f（m+n）=f(m）+f（n)-1 且当x>0时有 函数f(x)的定义域为实数集R,已知x>0时,f(x)>0,并且对任意m,n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f（n）. 设函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n恒有f(m+n)=f(m)*f(n),且当x＞0时,0＜f(x)＜1.（1） 已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数m、n，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，并且x＞0时，恒有f（x）＞1 定义在正整数上的函数f(x)对任意m,n∈N*,都有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）－2,且f（1）=1. 函数单调性函数f(x)对任意的m、n∈R,都有f（m+n）=f(m)+f(n)-1,并且x>0时,恒有f(x)>1.求证 已知函数f(x)对任意的实数m,n,都有：f（m+n）=f(m)+f(n)-1,且x>0时,有f(x)>11).求f(0 已知函数f（x）的定义域为R,对任意实数m、n均有f（m+n）=f（m）+f（n）-1,且f（1/2）=2,又当x>-1 1、设函数y=f（x）定义在R上,对任意实数m,n,恒有f（m+n）=f（m）•f（n）,且当x＞0 已知f(x)满足,对任意的m,n属于R,都有f(m-n)=f(m)-f(n),f(1)=2 定义在正整数集的函数F（X）对任意m,n 都有F（m+n）=F（m）+F（n）+4（m+n）-·2,且F（1）=1