已知函数f（x）=kex，g（x）=1klnx，其中k＞0．若函数f（x），g（x）在它们的图象与坐标轴交点处的切线互相

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/06/09 14:07:00

已知函数f（x）=ke^x，g（x）=

（1）f（x），g（x）与坐标轴的交点分别为（0，k），（1，0），
由f（x）=ke^x，g（x）=
1
klnx，得f′（x）=ke^x，g′（x）=
1
kx，
由题意知f′（0）=g′（1），即k=
1
k，又k＞0，所以k=1．            …2分
（2）假设存在直线l同时是函数f（x），g（x）的切线，
设l与f（x），g（x）分别相切于点M（m，e^m），N（n，lnn）（n＞0），
则l：y-e^m=e^m（x-m）或表示为y-lnn=
1
n（x-n），
则e^m=
1
n，且e^m（1-m）=lnn-1，要说明l是否存在，只需说明上述方程组是否有解．…4分
由e^m=
1
n得n=e^-m，代入e^m（1-m）=lnn-1，得e^m（1-m）=-m-1，即e^m（1-m）+m+1=0，
令h（m）=e^m（1-m）+m+1，
因为h（1）=2＞0，h（2）=-e²+3＜0，所以方程e^m（1-m）+m+1=0有解，则方程组有解，
故存在直线l，使得l同时是函数f（x），g（x）的切线．                 …8分
（3）证明：设A（x₀，ex0），B（x₀，lnx₀），则AB=|ex0-lnx₀|，
设F（x）=ex0-lnx₀，∴G（x）=F′（x）=ex0-
1
x0，
∴G′（x）=ex0+
1
x02＞0，即G（x）在（0，+∞）上单调递增，
又G（0.5）=
e-2＜0，G（1）=e-1＞0，
故G（x）在（0，+∞）上有唯一零点，设为t∈（0.5，1），则e^t-
1
t=0，因此t=-lnt，
当x∈（0，t）时，F′（x）=G（x）＜G（t）=0，∴F（x）在（0，t）上单调递减；
当x∈（t，+∞）时，F′（x）=G（x）＞G（t）=0，∴F（x）在（t，+∞）上单调递增，
因此F（x）≥F（t）=e^t-lnt=
1
t+t，
由于t∈（0.5，1），∴F（x）=
1
t+t＞2，则AB=|ex0-lnx₀|＞2．…14分
设C（x₁，ex1），D（x₂，lnx₂），则ex1=lnx₂，令ex1=lnx₂=u，则x₁=lnu，x₂=e^u，
∴CD=|x₂-x₁|=|e^u-lnu|＞2，
故S=
1
2AB•CD＞
1
2•2•2=2．                          …16分．

已知函数f（x）=根号x,g（x）=a/x,a∈R.若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）且交点处的切线互相垂直已知函数f（x）=lnx+kex，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．已知函数f(x)=ae^x,g(x)=lnx-lna,其中a为常数,函数y=f(x)在其图像和与坐标轴的交点处的切线为l 已知函数f（x）=x2+blnx和g（x）=x-9x-3的图象在x=4处的切线互相平行．已知f(x)=lnx,g(x)=kx-k讨论函数f(x)的图象与g(x)的图象的交点个数已知函数f（x）=Inx,g（x）=1/2x²-bx函数f(x)的图像在点（1,f(1)）处的切线与g(x)的设函数f（x）=x3+ax，g（x）=2x2+b，已知它们的图象在x=1处有相同的切线．已知函数f(x)=1/(x+a),g(x)=bx^2+3x,若曲线h(x)=f(x)-g(x)在点（1,0）处的切线斜率已知函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+3x+2的图象相切，记F（x）=f（x）g（x）．（2013•厦门模拟）已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+1 已知函数f(x)=1+sinx,x∈[0,2π﹚图像在p处的切线与函数g（x）=√x﹙x/3+1)图像在点Q处的切线平行已知函数f(x)=ax^2,g(x)=lnx-lna(其中a大于0),函数f(x)的图像在与y轴交点处的切线为L1,函数