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已知函数f(x)=根号x,g(x)=a/x,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)且交点处的切线互相垂直

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/17 02:21:36
已知函数f(x)=根号x,g(x)=a/x,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)且交点处的切线互相垂直
求a的取值范围级切线的方程
解设交点为(x0,y0)
则y0=√x0,y0=a/x0,即a/x0=√x0,即a=x0√x0.①
又有f'(x)=1/2√x,g'(x)=-a/x²
即曲线y=f(x)与曲线y=g(x)且交点处的切线的斜率为1/2√x0,-a/x0²
又有切线互相垂直即(1/2√x0)*(-a/x0²)=-1
即a=2x0²√x0.②
由①和②得x0=1/2
即a=1/2*√(1/2)=√2/4
即交点为(1/2,√2/2),切线斜率k=√2/2和k=-√2
即切线方程为y-√2/2=√2/2(x-1/2),即y=√2/2x+√2/4
y-√2/2=-√2(x-1/2),即y=-√2x