作业帮考研数学微分方程初值问题.yy''=1+（y'）^2.已知y（1）=1,y'（1）=0 为什
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/05 20:19:58
考研数学微分方程初值问题.yy''=1+（y'）^2.已知y（1）=1,y'（1）=0 为什
考研数学微分方程初值问题.
yy''=1+（y'）^2.已知y（1）=1,y'（1）=0
为什么我最后求的dy/√（y^2-1）=±dx结果是两个,而答案却能综合到一个y=（e^（x-1）+e^（1-x））/2?
考研数学微分方程初值问题.
yy''=1+（y'）^2.已知y（1）=1,y'（1）=0
为什么我最后求的dy/√（y^2-1）=±dx结果是两个,而答案却能综合到一个y=（e^（x-1）+e^（1-x））/2?
设y'=p,则y''=p(dp/dy)
代入原方程得yp(dp/dy)=1+p
==>pdp/(1+p )=dy
==>ln(1+p )=2ln│y│+C (C是积分常数)
∵y(1)＝1,y'(1)=0
∴当x=1时,p=1 ==>C=0
∴ln(1+p )=2ln│y│
==>1+p =y
==>y'=√(y -1),或y'=-√(y -1)
==>dy/√(y -1)=dx,或dy/√(y -1)=-dx
==>ln│y+√(y -1)│=x+C,或ln│y+√(y -1)│=-x+C （C是积分常数）
∵y(1)＝1
∴C=-1,或C=1
==>y+√(y -1)=e^(x-1),或y+√(y -1)=e^(1-x)
故原方程满足初值的解是y+√(y -1)=e^(x-1),或y+√(y -1)=e^(1-x).
再问： 但是他们一个是+x一个是-x的时候对应的两个特解。不就相当于两个不同区间的解了吗。再说左边也还有一个y-√（y^2-1）怎么会变成了y？
代入原方程得yp(dp/dy)=1+p
==>pdp/(1+p )=dy
==>ln(1+p )=2ln│y│+C (C是积分常数)
∵y(1)＝1,y'(1)=0
∴当x=1时,p=1 ==>C=0
∴ln(1+p )=2ln│y│
==>1+p =y
==>y'=√(y -1),或y'=-√(y -1)
==>dy/√(y -1)=dx,或dy/√(y -1)=-dx
==>ln│y+√(y -1)│=x+C,或ln│y+√(y -1)│=-x+C （C是积分常数）
∵y(1)＝1
∴C=-1,或C=1
==>y+√(y -1)=e^(x-1),或y+√(y -1)=e^(1-x)
故原方程满足初值的解是y+√(y -1)=e^(x-1),或y+√(y -1)=e^(1-x).
再问： 但是他们一个是+x一个是-x的时候对应的两个特解。不就相当于两个不同区间的解了吗。再说左边也还有一个y-√（y^2-1）怎么会变成了y？
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