作业帮关于一道高等数学中泰勒级数展开问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 08:06:48
关于一道高等数学中泰勒级数展开问题
f(x)=lnx X0=2 在X0处展开成泰勒级数
ln2+ ∑（-1）^n-1 *（1/n*2^n）*（x-x0）^n
但我做出来与答案有个不同处是n!*2^n
不知道我哪里算错了.
f(x)=lnx X0=2 在X0处展开成泰勒级数
ln2+ ∑（-1）^n-1 *（1/n*2^n）*（x-x0）^n
但我做出来与答案有个不同处是n!*2^n
不知道我哪里算错了.
题目要求是直接展开吗?如果不是的话,用间接展开：
f'(x)＝1/x＝1/[2+(x-2)]＝1/2×1/[1+(x-2)/2]＝1/2×∑[(-1)^n×(x-2)^n/2^n],n从0到∞
然后两边从2到x积分,则f(x)＝f(2)＋∫(2到x）f ' (t)dt＝f(2)＋∫(2到x）1/2×∑[(-1)^n×(t-2)^n/2^n]dt＝ln2＋1/2×∑[(-1)^n×(x-2)^(n+1)/(n+1)×1/2^n],n从0到∞（可以化为n从1到∞）
＝ln2＋1/2×∑[(-1)^(n-1)×(x-2)^n/n×1/2^(n-1)],n从1到∞
＝ln2＋∑[(-1)^(n-1)×(x-2)^n/(n×2^n)],n从1到∞
再问： 不好意思。。是直接展开的。。间接展开还木有教到。。。可否用直接展开的方式来解答下，谢谢了~
再答： 求高阶导数，f'(x)＝1/x，f''(x)＝-1/x^2，.f'''(x)＝2/x^3..，由此得到n阶导数是(-1)^(n-1)×(n-1)!/x^n，所以幂级数展开式中的系数a0＝f(0)＝ln2，(x-2)^n项的系数an＝(-1)^(n-1)×(n-1)!/2^n ÷ n! ＝(-1)^(n-1)/(2^n×n)，n从1到∞ 所以f(x)＝ln2＋∑[(-1)^(n-1)×(x-2)^n/(n×2^n)]，n从1到∞
f'(x)＝1/x＝1/[2+(x-2)]＝1/2×1/[1+(x-2)/2]＝1/2×∑[(-1)^n×(x-2)^n/2^n],n从0到∞
然后两边从2到x积分,则f(x)＝f(2)＋∫(2到x）f ' (t)dt＝f(2)＋∫(2到x）1/2×∑[(-1)^n×(t-2)^n/2^n]dt＝ln2＋1/2×∑[(-1)^n×(x-2)^(n+1)/(n+1)×1/2^n],n从0到∞（可以化为n从1到∞）
＝ln2＋1/2×∑[(-1)^(n-1)×(x-2)^n/n×1/2^(n-1)],n从1到∞
＝ln2＋∑[(-1)^(n-1)×(x-2)^n/(n×2^n)],n从1到∞
再问： 不好意思。。是直接展开的。。间接展开还木有教到。。。可否用直接展开的方式来解答下，谢谢了~
再答： 求高阶导数，f'(x)＝1/x，f''(x)＝-1/x^2，.f'''(x)＝2/x^3..，由此得到n阶导数是(-1)^(n-1)×(n-1)!/x^n，所以幂级数展开式中的系数a0＝f(0)＝ln2，(x-2)^n项的系数an＝(-1)^(n-1)×(n-1)!/2^n ÷ n! ＝(-1)^(n-1)/(2^n×n)，n从1到∞ 所以f(x)＝ln2＋∑[(-1)^(n-1)×(x-2)^n/(n×2^n)]，n从1到∞