（2007•江苏）已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/22 10:30:57

（2007•江苏）已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx²+cx+d，g（x）=ax³+bx²+cx+d．方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根．
（1）求d的值；
（2）若a=0，求c的取值范围；
（3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范围．

（1）设r为方程的一个根，即f（r）=0，则由题设得g（f（r））=0．
于是，g（0）=g（f（r））=0，即g（0）=d=0．
所以，d=0．
（2）由题意及（1）知f（x）=bx²+cx，g（x）=ax³+bx²+cx．
由a=0得b，c是不全为零的实数，且g（x）=bx²+cx=x（bx+c），
则g（f（x））=x（bx+c）[bx（bx+c）+c]=x（bx+c）（b²x²+bcx+c）．
方程f（x）=0就是x（bx+c）=0．①
方程g（f（x））=0就是x（bx+c）（b²x²+bcx+c）=0．②
（ⅰ）当c=0时，b≠0，方程①、②的根都为x=0，符合题意．
（ⅱ）当c≠0，b=0时，方程①、②的根都为x=0，符合题意．
（ⅲ）当c≠0，b≠0时，方程①的根为x₁=0，x2＝−
c
b，它们也都是方程②的根，但它们不是方程b²x²+bcx+c=0的实数根．
由题意，方程b²x²+bcx+c=0无实数根，此方程根的判别式△=（bc）²-4b²c＜0，得0＜c＜4．
综上所述，所求c的取值范围为[0，4）．
（3）由a=1，f（1）=0得b=-c，f（x）=bx²+cx=cx（-x+1），g（f（x））=f（x）[f²（x）-cf（x）+c]．③
由f（x）=0可以推得g（f（x））=0，知方程f（x）=0的根一定是方程g（f（x））=0的根．
当c=0时，符合题意．
当c≠0时，b≠0，方程f（x）=0的根不是方程f²（x）-cf（x）+c=0④的根，
因此，根据题意，方程④应无实数根．
那么当（-c）²-4c＜0，即0＜c＜4时，f²（x）-cf（x）+c＞0，符合题意．
当（-c）²-4c≥0，即c＜0或c≥4时，由方程④得f(x)＝−cx2+cx＝
c±
c2−4c
2，
即cx2−cx+
c±
c2−4c
2＝0，⑤
则方程⑤应无实数根，
所以有(−c)2−4c
c+
c2−4c
2＜0且(−c)2−4c
c−
c2−4c
2＜0．
当c＜0时，只需−c2−2c

已知a，b，c，d是不全为0的实数，函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d，方程f（x）=0 已知定义在实数集R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d是实数．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图，则（　　） f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)为增函数,则b,c满足的条件是? （2013•眉山二模）已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），a+b+c=0，且f（0）已知函数g(X)=ax3+bx2+cx+d（a不等于0）的导函数为f(x),a+b+c=0,且f(0)f(1)>0,设X 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,则实数b的取值范围为已知a,b,c,d是不全为零的实数,函数f(x）=bx^2+cx+d,g(x)=ax^3+bx^2+cx+d,方程f(x 已知f（x）=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数，其图象与x轴交于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且& 已知f(x)=ax3+bx2+cx+d为奇函数这时可求出b d 求证：关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b=-（c+d）． f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)为增函数,则 b2-3ac