作业帮关于——数学分析——实数——证明 《微积分学教程》的一道题,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 15:54:21
关于——数学分析——实数——证明 《微积分学教程》的一道题,
定理：对于不论怎样的两个实数a及b,其中a>b,恒有一个位于它们中间的有理数r:a>r>b,并且这种有理数有无穷个.
证明 ：设给定两个实数a和b.如果任取一个数e>0,数a及b都能位于同一有理数s与s1之间：s1>a>s,s1>b>s,
这对数的差小于e：s1-sb,依据前提上面的定理,在a与b之间可以插入两个有理数r及r1>r：a>r1>r>b.
于是对于任何二数s及s1,当a及b都在它们之间时,显然成立如下等式
s1>r1>r>s,由此 s1-s>r1-r>0,
因此差s1-s,比如不能小于数e=r1-r,违背题目条件.此处矛盾即得证.
我想这样证明：
反证法证明.设a>b,根据条件可得：s1>a>b>s
可推得：s1-s>a-b>0,
因此差s1-s,比如不能小于数e=a-b,违背题目条件.此处矛盾即得证.
定理：对于不论怎样的两个实数a及b,其中a>b,恒有一个位于它们中间的有理数r:a>r>b,并且这种有理数有无穷个.
证明 ：设给定两个实数a和b.如果任取一个数e>0,数a及b都能位于同一有理数s与s1之间：s1>a>s,s1>b>s,
这对数的差小于e：s1-sb,依据前提上面的定理,在a与b之间可以插入两个有理数r及r1>r：a>r1>r>b.
于是对于任何二数s及s1,当a及b都在它们之间时,显然成立如下等式
s1>r1>r>s,由此 s1-s>r1-r>0,
因此差s1-s,比如不能小于数e=r1-r,违背题目条件.此处矛盾即得证.
我想这样证明：
反证法证明.设a>b,根据条件可得：s1>a>b>s
可推得：s1-s>a-b>0,
因此差s1-s,比如不能小于数e=a-b,违背题目条件.此处矛盾即得证.
你的证明也是没问题的.
两个证明只有一个区别：书上的证明中取e是有理数,而你的证明中
e不一定是有理数而已.因此需要看题目当中对e的要求.
题目中的e必须是有理数,那只能按书上的证明；
不需要e是有理数,你的证明就可以.
两个证明只有一个区别：书上的证明中取e是有理数,而你的证明中
e不一定是有理数而已.因此需要看题目当中对e的要求.
题目中的e必须是有理数,那只能按书上的证明；
不需要e是有理数,你的证明就可以.