已知：a,b,c>0,a+b+c=1,求证：（a+1/a)(b+1/b).我的问题见补充里

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/25 00:38:34

我的问题是：这道题老师是在讲均值不等式方法的时候说的,然后这题被归为第二个方法内,
第二个方法是取等条件与系数平衡,这道题我只记得他讲的部分内容,他讲这道题的时候说这道题观察出来取等条件是a=b=c=1/3 ,然后我还记得他把a+ 1/a分成1/9a +1/9a+...+1/9a (9个) +a,我记得他
讲了为什么这么分,怎么想到这么分的,但我现在忘了,我不晓得他为什么这么分,
然后后来他又对刚才分出来这个式子用均值不等式,他又怎么想到对分出来这个式子
用均值不等式的呢?然后想问等条件与系数平衡这方法中,怎么运用?

哦我明白意思了.这个名字：系数平衡我是没有听说过,但是这肯定是属于取巧的一种做法.在竞赛中常常用到取巧思想. 这个想法是这样的：注意到不等式的证明是有等号存在的,因此是可以取到等号的不等式左边是对称轮换的,而条件中的a b c也是对称的我们可以猜想：a=b=c=1/3的时候可以取到不等式的等号（带入即可得知相等）（此步为3中的拼凑打下基础）为什么凑成 a+(1/9a) *9 呢因为等号的取得条件在a = 1/3 => a=1/9a （注意到这两个是等价的）因此在各类不等式中（不管是均值不等式还是调和不等式几何不等式）取等条件都是要每一个部分取等.那么在最后一步,被称为验证取等条件的时候可以拼凑成功. 因为在a=1/9a的时候其实已经拼凑过了.如果我还是讲的不那么清楚,你想我写 a+(1/4a)*4 那么在最后拼凑等号的到时候肯定是a=1/4a => a=1/2 但是等号的取等条件在第2步我们已经猜到是1/3了因此矛盾,所以必须在第三步的时候如老师所说拼凑. 凑好了,接下来便是证明过程了而且注意到10份和1000不谋而合,均值不等式出来的3个10相乘肯定是正确的思路,因此在此证明过程中选择均值不等式. 4.验证取等条件可知在 a=1/9a =>a=1/3时等号成立因此得证希望能够采纳哦~
再问：你好，非常感谢你的详细解答，“a = 1/3 => a=1/9a ”我清楚了a = 1/3 等价于a=1/9a这一点，但为什么想到拆分a+1/9a+1/9a+...+1/9a(9个）呢？

“ 凑好了，接下来便是证明过程了而且注意到10份和1000不谋而合，均值不等式出来的3个10相乘肯定是正确的思路，因此在此证明过程中选择均值不等式。”不太清楚为什么要用均值不等式？
再答：因为我不知道老师是怎么讲的= =.. 均值不等式是包含了调和平均几何平均都叫均值不等式，他们的特点就是等号需要在每个子式都相等的情况下获得。所以你问怎么凑1/9a我可以回答你他就是凑了一个 a 与 1/a 之间的系数。其实整个题目的关键在于怎么使用用哪种变形的均值不等式，你能详细说一下老师是怎么使用均值不等式的。我现在有点懒~,~ 一下子没有想出来

已知a>b>c,求证1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0 已知a+b+c=0求证:(a-b/c+b-c/a+c-a/b)(c/a-b+a/b-c+b/c-a)=9 已知a>b>c,且2a+3b+4c=0.(1)求证:a+b+c>0 已知a+b+c=0,求证[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b)][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c- 已知a>b>c>d,求证1/a-b+1/b-c+1/c-a>=9/a-d 已知：a+b+c，b+c-a，c+a-b，a+b-c组成公比为q的等比数列，求证：q3+q2+q=1．问道数学题,已知a,b,c>0 ,且a,b,c不等于1,a^b =c ,b^c=a,试比较a,b,c的大小.. 均值不等式问题,已知a,b,c属于R,且a/(b+c)=b/(a+c)-c/(a+b),证明b/(a+c)≥（√17-1 帮个忙进来.已知一元二次方程a(b-c)x²+b(c-a)x+c(a-b)=0有两个相等的实根求证：1/a,1 已知a,b,c为三个非零实数,且a+b+c=0求证:[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+ 已知a,b,c属于R+,a+b+c=1,求证：1/a+1/b+1/c>=9 已知a，b，c∈R+，a+b+c=1，求证：1a+1b+1c≥9