线性微分方程y''-2y'+y=0的通解为什么是y=Ce^x,而不是y=(C1+C2x)*e^x

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/25 02:00:49

线性微分方程y''-2y'+y=0的通解为什么是y=C*e^x,而不是y=(C1+C2*x)*e^x

怎么不是了,二阶线性微分方程,解空间是二维的,通解必有两个不定常数,因此是y＝(c1+c2*x)*e^x.
再问：可是用解反过来进行验证的话是成立的。
再答：验证只能验证是解，不能验证是通解。通解必须有两个不定常数。
再问：可是它本身不就是一个通解吗？
再答：不是，通解必须有两个不定常数。
再问：对不起我可能有点搞混了，能麻烦你跟我解释一个解跟通解的区别吗？解应该不含不定常熟不是吗？
再答：解可以含不定常数啊，通解表达式中的任意一种表示方式都是解啊。通解是能把所有的解（注意是所有的解）用统一的表达式表示的。C*e^x是解，代入微分方程验证就知道了，但不是通解，没有把所有的解表示出来。就像我一开始说的，全体解是二维空间，C*e^x只表示了其中的一维空间，还丢了另外一维空间：C*xe^x。其实e^x和xe^x就是二维解空间的一个基，它们俩的线性组合就是通解。这在代数书上都有了证明了。
再问：啊啊，明白了，谢谢你啊！看到你的解答我汗颜了啊~

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