已知数列{an}的首项a1=4,前n项和为Sn,且Sn+1-3Sn-2n-4=0(n∈N+)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/23 23:23:54
已知数列{an}的首项a1=4,前n项和为Sn,且Sn+1-3Sn-2n-4=0(n∈N+)
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设函数f(x)=anx+an-1x2+…+a1xn,f′(x)是函数f(x)的导函数,令bn=f′(1),求数列{bn}的通项公式,并研究其单调性.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设函数f(x)=anx+an-1x2+…+a1xn,f′(x)是函数f(x)的导函数,令bn=f′(1),求数列{bn}的通项公式,并研究其单调性.
(1)∵Sn+1-3Sn-2n-4=0(n∈N+) ①
∴Sn-3Sn-1-2(n-1)-4=0(n∈N+) ②
①-②得an+1-3an-2=0,
即an+1+1=3(an+1)
∴{an+1}是首项为5,公比为3的等比数列.
∴an+1=5•3n-1,
即an═5•3n-1-1.
(2)∵f(x)=anx+an-1x2+…+a1xn,
∴f′(x)=an+2an-1x+…+na1xn-1
∴bn=f′(1)=an+2an-1+…+na1 =(5×3n-2-1)+…+n(5×30-1)
=5[3n-1+2×3n-2+…+n×30]-
n(n+1)
2,
令S=3n-1+2×3n-2+…+n×30,则3S=3n+2×3n-1+…+n×31.
作差得S=-
n
2-
3-3n+1
4.
于是,bn=f′(1)=
5×3n+1-15
4-
n(n+6)
4,而bn+1=
5×3n+2-15
4-
(n+1)(n+7)
4,
作差得bn+1-bn=
15×3n
2-
n
2-
7
4>0
∴{bn}是递增数列.
∴Sn-3Sn-1-2(n-1)-4=0(n∈N+) ②
①-②得an+1-3an-2=0,
即an+1+1=3(an+1)
∴{an+1}是首项为5,公比为3的等比数列.
∴an+1=5•3n-1,
即an═5•3n-1-1.
(2)∵f(x)=anx+an-1x2+…+a1xn,
∴f′(x)=an+2an-1x+…+na1xn-1
∴bn=f′(1)=an+2an-1+…+na1 =(5×3n-2-1)+…+n(5×30-1)
=5[3n-1+2×3n-2+…+n×30]-
n(n+1)
2,
令S=3n-1+2×3n-2+…+n×30,则3S=3n+2×3n-1+…+n×31.
作差得S=-
n
2-
3-3n+1
4.
于是,bn=f′(1)=
5×3n+1-15
4-
n(n+6)
4,而bn+1=
5×3n+2-15
4-
(n+1)(n+7)
4,
作差得bn+1-bn=
15×3n
2-
n
2-
7
4>0
∴{bn}是递增数列.
已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*).
已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*)
已知数列{an}的首项是a1=1,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+3n+1(n∈N*).
已知数列{an}的首项a1=3,前n项和为Sn,且S(n+1)=3Sn+2n(n∈N)
已知数列an的首项a1=5,前n项和为Sn,且S(n+1)=2Sn+n+5(n∈N*),求数列{an}的前n项和Sn,设
高中数列 已知数列{an}的首项a1=1 前n项和为Sn 且S(n+1)=2Sn+3n+1
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-23,Sn+1Sn=an-2(n≥2,n∈N)
设数列an的前n项和为sn,且a1为1 ,Sn+1=4an+2(n∈N正)
数列an的前n项和为Sn,a1=1/4且Sn=Sn-1+an-1+1/2(n-1为下标)
已知数列{an}的首项a1=3,前n项和为sn,且sn+1=3sn+2n
已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为sn,且sn+1=2sn+n+5(n∈N*) (1)证明数列{an+1}是等比
数列:已知数列{an}前 n项和为Sn,且a1=2,4Sn=ana(n+1).求数列{an}的通项公式.