作业帮 > 数学 > 作业

已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 19:42:18
已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）
（I）证明数列{an+1}是等比数列；
（II）令f（x）=a1x+a2x2+…+anxn，求函数f（x）在点x=1处的导数f'（1）并比较2f'（1）与23n2-13n的大小．
（I）由已知Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*），
可得n≥2，Sn=2Sn-1+n+4两式相减得Sn+1-Sn=2（Sn-Sn-1）+1即an+1=2an+1
从而an+1+1=2（an+1）
当n=1时S2=2S1+1+5所以a2+a1=2a1+6又a1=5所以a2=11
从而a2+1=2（a1+1）
故总有an+1+1=2（an+1），n∈N*又a1=5，a1+1≠0
从而
an+1+1
an+1=2即数列{an+1}是等比数列；
（II）由（I）知an=3×2n-1
因为f（x）=a1x+a2x2++anxn所以f′（x）=a1+2a2x++nanxn-1
从而f′（1）=a1+2a2++nan=（3×2-1）+2（3×22-1）++n（3×2n-1）
=3（2+2×22++n×2n）-（1+2++n）=3（n-1）•2n+1-
n(n+1)
2+6．
由上2f′（1）-（23n2-13n）=12（n-1）•2n-12（2n2-n-1）
=12（n-1）•2n-12（n-1）（2n+1）
=12（n-1）[2n-（2n+1）]①
当n=1时，①式=0所以2f'（1）=23n2-13n；
当n=2时，①式=-12＜0所以2f'（1）＜23n2-13n
当n≥3时，n-1＞0又2n=（1+1）n=Cn0+Cn1++Cnn-1+Cnn≥2n+2＞2n+1
所以（n-1）[2n-（2n+1）]＞0即①＞0从而2f′（1）＞23n2-13n．
已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）． 已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*） 已知数列an的首项a1=5,前n项和为Sn,且S(n+1)=2Sn+n+5（n∈N*）,求数列｛an｝的前n项和Sn,设 已知数列{an}的首项a1=3,前n项和为Sn,且S（n+1）=3Sn+2n(n∈N) 已知数列{an}的首项是a1=1，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+3n+1（n∈N*）． 已知数列｛an｝的首项a1=5,前n项和为sn,且sn+1=2sn+n+5(n∈N*) （1）证明数列｛an+1｝是等比 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=-23，Sn+1Sn=an-2（n≥2，n∈N） 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,n∈N* 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，n∈N* 已知数列{an}的前n项的和为Sn，且有a1=2，3Sn=5an-an-1+3Sn-1（n≥2，n∈N*）． 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=5,且nSn+1=2n(n+1)+(n+1)Sn 高中数列 已知数列｛an｝的首项a1=1 前n项和为Sn 且S（n+1）=2Sn+3n+1