【紧急·高一数学】过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/27 11:16:30

【紧急·高一数学】过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,
连接PA,PB,PC,若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,且点O是△ABC 的垂心,求证：OA⊥BC,OB⊥AC

1、中点.
2、外心.
3、垂心.
证明：1、 PA=PB=PC====》OA=OB=OC（斜线相等,则射影也相等）==》O点是外心.
角C=90°,外心在斜边的中点.
2、OA=OB=OC（斜线相等,则射影也相等）==》O点是外心.
3、 ∵PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,
∴PC⊥平面APB,
∵AB∈平面APB
∴PC⊥AB,
∵PO⊥平面ABC,AB∈平面ABC
∴PO⊥AB,
∵PC∩PO=P
∴AB⊥平面PCO,
∵CO∈平面POC,
∴AB⊥CO,
同理BC⊥AO,AC⊥BO,
AO,BO,CO是三条高的一部分,
三条高必交于一点,
∴O是三角形ABC的垂心.