三棱锥P-ABC的三个侧面两两互相垂直，求证：顶点P在底面的射影O是底面三角形ABC的垂心．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 16:52:16

证明：三棱锥P-ABC，在面PAB中任取一点M，过M作MD⊥PA，ME⊥PB，
∵三棱锥P-ABC的三个侧面两两互相垂直，
∴MD⊥平面PAC，ME⊥平面PBC，
∴MD⊥PC，ME⊥PC，MD∩ME=M，
∴PC⊥平面PAB，同理可证，PA⊥平面PBC，PB⊥平面PAC；
∵顶点P在底面的射影为O，
连接CO并延长交AB于C′，连接AO并延长交BC于A′，
∵PC⊥平面PAB，AB⊂平面ABC，
∴PC⊥AB，又PO⊥底面ABC，
∴PO⊥AB，又PC∩PO=P，
∴AB⊥平面PCC′，
∴AB⊥CC′；
同理可证，BC⊥AA′，
∴O是底面三角形的垂心．

已知三棱锥顶点P在底面的射影O是三角形ABC的垂心,且PA垂直PB,求证PA垂直平面PBC 已知在三棱锥S-ABC中,SA,SB,SC,两两互相垂直O点为底面三角形ABC的垂心,求证SO垂直平面ABC 若三棱锥P-ABC的三个侧面两两垂直,则证明P在底面的投影为△ABC的垂心三棱锥p-abc的三条侧棱长相等,则顶点在底面上的射影是底面三角形的什么心三棱锥顶点P在底面的射影O是△ABC的垂心,PA⊥PB 如果三棱锥的三个侧面两两互相垂直,则顶点在底面的正投影是底面三角形的什么心已知三棱锥P—ABC的三条侧棱PA.PB.PC两两垂直,H是底面三角形ABC的垂心,求证：PH//平面ABC. 在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=1,PB=PC=√2,P在底面ABC上的射影为H,则H到三个侧面三棱锥P－ABC的三条侧棱长相等,则顶点在底面上的射影是底面三角形的( ) 已知三棱锥的顶点P在底面ABC的射影为O,则在三棱锥P－ABC中O为顶点P在底面的射影何时O为底面外心何时为内心何时为垂心已知在三棱锥p-ABC中,定点p在底面ABC内的射影为三角形ABC的垂心”