已知椭圆y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√2/2,且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/23 23:20:11

已知椭圆y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√2/2,且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点.
斜率为K(K≠0)的直线L过椭圆焦点且与椭圆相交与P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0,m）.
（1）求椭圆的方程
（2）求m的取值范围

解Ⅰ依题意可得e=c/a=根号2/2,c=b又c^2=a^2-b^2可得b=1, a=根号2  所以椭圆方程为y^2/2+x^2=1.
(2)椭圆x^2+y^2/2=1
k不等于0时,联纳y=kx+1,x^2+y^2/2=1,得(2+k^2)x^2+2kx-1=0,易知判别式大于0,由韦达定理有
中点x0=(x1+x2)/2=(-k)/(2+k^2),y0=kx0+1=2/(2+k^2)
线段PQ的垂直平分线为y=-1/k(x+(k)/(2+k^2))+2/(2+k^2),令x=0,y=1/(2+k^2),当k〉0时单减,
k〈0时单增,当k=0,有最大值1/2,当k趋于无穷时,y趋于0,m取值为（0,1/2)