一道微积分应用题设球的半径为R,试求内楼于球的体积最大的圆柱体的高

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 03:22:40

一道微积分应用题
设球的半径为R,试求内楼于球的体积最大的圆柱体的高

对不起,电脑出了问题,图形出不来,还是语言叙述吧,不好意思.

设：圆柱体的半径是r；
则：圆柱体的高 H = 2×√(R²-r²)
圆柱的体积 V = πr²H = 2πr²√(R²-r²)
dV/dr = 4πr√(R²-r²) + 2πr²(-r)/[√(R²-r²)]
= 4πr√(R²-r²) - 2πr³/[√(R²-r²)]
令 dV/dr = 0
得 2√(R²-r²) = r²/[√(R²-r²)]
2(R²-r²) = r², 3r² = 2R² r = R√(2/3)
d²V/dr²= 4π√(R²-r²)-4πr²/[√(R²-r²)]-6πr²/[√(R²-r²)]-6πr⁴/[√(R²-r²)^(3/2)]
= 4π√(R²-r²)-10πr²/[√(R²-r²)]-6πr⁴/[√(R²-r²)^(3/2)]
当 r = R√(2/3)
d²V/dr²= (4√3)πR/3-(20√3)πR/3-(8√3)πR = -(40√3)πR/3 < 0
∴Vmax = 2πr²√(R²-r²)|(r=R√(2/3)) = (4√3)πR³/9
取得极大值的条件是：H = 2×√(R²-r²) = (2√3)R/3

内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为多少内接于半径为r的球并且体积最大的圆柱的高已知圆锥体的底面半径为R，高为H求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h（如图）．圆柱体内接于高为h,底半径为r的圆锥体内,设圆柱体高为x ,试将圆柱体的底半径y和体积v分别表示为x的函数在半径为R的半球内作一内接圆柱体,求其体积最大时的底面半径和高. 在半径为R的球内作一个内接圆柱体,要使圆柱体体积最大,问其高、底半径是多少? 用大学的方法,圆锥体积公式推导,半径为r,高为h.用微积分, 用大学的方法,圆锥体积公式推导,半径为r,高为h.用微积分求解一道高数题阿!球的半径为R,作外切于球的圆锥,试将圆锥的体积表示为圆锥高h的函数设球的半径是R,作为外切于球的圆锥.试将圆锥的体积V表示为高H的函数,指出其定义域! 已知球的半径为R,球内接圆柱的底面半径为r,高h,则r和h为何值时,内接圆柱的体积最大已知球半径为R,球内接圆柱的底面半径为r,高为h,则r和h为何值时,内接圆柱体积最大