是否存在常数a,b,c使得等式12^2+23^3+……+n(n+1)^2=n(n+1)(an^2+bn+c)/12,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 19:53:08

是否存在常数a,b,c使得等式1*2^2+2*3^3+……+n(n+1)^2=n(n+1)(an^2+bn+c)/12,对于一切正整数n都成立?并证明.

先假设存在
则当N=1,N=2,N=3时等式能够成立
N=1时：1*2^2=4=1*2*(a+b+c）/12
a+b+c=24
N=2时：4+2*3^2=22=2*3*(4a+2b+c)/12
4a+2b+c=44
N=3时：22+3*4^2=3*4*(9a+3b+c)/12
9a+3b+c=70
这个方程组的解是a=3 b=11 c=10
所以如果存在满足条件的a b c一定是这三个数.否则如果连前3项都不满足,一定不存在
下面证明对于一切N都成立
N=1时该等式成立,已证
假设N=K时该等式能成立则当N=K+1时
1*2^2+2*3^2+.+k(k+1)^2+(k+1)(k+2)^2 (前K项和加在一起）
=k(k+1)(3k^2+11k+10)/12+（k+1)(k+2)^2(提取k+1)
=(k+1)(3k^3+11k^2+10k+12k^2+48k+48)/12(合并同类项）
=(k+1)(3k^3+23k^2+58k+48)/12（把两次以后的项拆开,凑一个k+2得因子出来）
=(k+1)[(3k^3+6k^2)+(17k^2+34k)+(24k+48）]（提取k+2）
=(k+1)(k+2)(3k^2+17k+24)(方法同上凑k+1因子）
=(k+1)(k+2)[(3k^2+6k+3)+(11k+11)+10]
=(k+1)(k+2)[3(k+1)^2+11(k+1)+10]
故对于一切N a=3 b=11 c=10 都能使等式成立

是否存在常数abc,使得等式1*2^2+2*3^2+.+n(n+1)^n=n(n+1)(an^2+bn+c)/12成立? 是否存在常数a、b、c,使等式1*(n^2-1^2)+2*(n^2-2^2)...+n(n^2-n^2)=an^4+bn 是否存在常数a,b,c,使等式1^2+3^2……(2n-1)^2=an(bn^2+c)/3 是否存在常数a,b,c,使等式1*2^2+2*3^2+.+n（n+1）^2=（（n+n^2）/12）（bn+c+an^2 是否存在常数a、b、c,使等式1*3+3*5+5*7+……+(2n-1)(2n+1)=n*(an^2+bn+c)/3对任是否存在常数a,b,c,使得等式1.2平方+2.3平方+3.4平方+…+n（n+1）平方=n(n+1)/12(an平方+ 是否存在常数a,b,c,是等式1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=an/3(bn^2+c)对任意正整数n都是否存在常数C,使得等式1x4+2x7+3x10+.+n(3n+1)=n(n+c)(n+2c+1)对任意正整数n恒成立? 是否存在常数a、b,使得等式：1^2/1*3+2^2/3*5+...+n^2/（2n-1）（2n+1）=（an^2+n）设an=1+1/2+1/3+...+1/n是否存在关于n的整式g(n),使得等式a1+a2+...+a(n-1)=g(n 数列an的前n项和为sn,存在常数A,B,C使得an+sn=An^2+Bn+C对任意正整数n都成立. 数列{an}的前项n的和为Sn,存在常数A、B、C,使得an+Sn=An^2+Bn+C对任意正整数n都成立.(1)若数列