（2012•香洲区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD=4，∠ABC=120°，∠ACB=45°，连接OB

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/24 03:30:47

（2012•香洲区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD=4，∠ABC=120°，∠ACB=45°，连接OB交AC于点E．
（1）求AC的长；
（2）求CE：AE的值；
（3）在CB的延长线上取一点P，使PB=2BC，试判断直线PA和⊙O的位置关系，并证明你的结论．

（1）过点O作OF⊥AC于点F．则AF=CF（垂径定理）；
∵∠ACB=45°，∠AOB=2∠ACB，（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠AOB=90°；
又∵在△ABC中，∠ABC=120°，∠ACB=45°，
∴∠CAB=15°（三角形内角和定理），
∴∠COB=2∠CAB=30°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠AOC=120°；
∵OA=OC=2（⊙O的半径），
∴∠OAC=∠OCA=30°（等边对等角），
∴AF=OA•cos∠OAF=2×

3
2=
3，
∴AC=2AF=2
3；

（2）如图：连接OC．由（1）知，∠AOB=90°，∠E0C=∠ECO=∠OAE=30°．

则在直角△AOE中，设OE=a，则AE=2a，CE=a，
∴
CE
AE =
a
2a =
1
2；

（3）直线PA和⊙O相切于点A．理由如下：
由（2）知，
CE
AE =
1
2．
∵PB=2BC，
∴
BC
PB =
1
2．
∴
EC
AE =
BC
PB =
1
2，
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CEB∽△CAP，
∴∠CBE=∠P，
∴OB∥AP，
∴∠OAP+∠AOB=180°，
∴∠OAP=90°，
∵O为半径，
∴PA切⊙O于点A．

如图：四边形ABCD内接于圆O,已知AD=10,AC=8,DC=6 并且角ACB=45度,连接OB交AC于点E 如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，交弦BC于点E．已知∠ACB=60°，BC=16cm．已知如图，等腰△ABC内接于⊙O，∠B=∠ACB=30°，弦AD交BC于E，AE=2，ED=4，则⊙O的半径为 ___ 已知,如图四边形ABCD内接于圆O,CD是远O的直径CB=BA,MN切圆O于A,∠DAM=28° 求∠B,∠BAN 如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（　　）已知：四边形ABCD内接于以AD为直径的⊙O，且AD=4，AB=CB=1，求：CD的长．已知O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°,则∠ADO+∠DCO=的图如图，△ABC是圆O的内接三角形，AD平分∠BAC交圆于点D，CE平分∠ACB交AD于点E，连接BD，求证;BD=ED 如图,已知O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°,则∠AOD+∠DOC的大小是如图,已知O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°,则∠AOD加∠DCO是多少度? 如图,已知O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°,则∠AOD+∠DCO的大小是如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO的大小是 [&nb