问一个关于正交矩阵的问题,请神!

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 01:38:52

问一个关于正交矩阵的问题,请神!
设A与B均为n阶矩阵,
S为n阶正交矩阵构成的空间,其内部的距离d(*,*)：
d(A,B)=∑(aij-bij)^2（i,j=1,2,...,n）,
证明：任意行列式为1的n阶正交矩阵P的任意去心邻域内,都存在行列式为1的n阶正交矩阵Q.
求尽快解决，急用，结论似乎很显然……almost there
d(A,B)=sqrt[∑(aij-bij)^2],（i,j=1,2,...,n）上面定义的距离应该开个根号~
这道题实为证明SO(n)为流形的过程
感谢电灯剑客的作答

注意n=1的时候结论不对,另外,你给的距离应该再开个根号,不然三角不等式会有问题.
n>1的时候,可以不妨设P=I,因为那个距离是酉不变的,d(P,Q)=d(I,P^TQ),只要对I能构造出充分靠近的Z,对P就能取Q=PZ
任取一个含有虚特征值且行列式为1的正交阵Y,以及任何实数t,考察I+tY的极分解I+tY=U(t)H(t)
当t充分靠近0的时候I+tY可逆,此时有唯一的极分解,由于极分解是关于t的连续函数,而U(0)=I,所以t->0时U(t)->I.最后验证一下t->0时U(t)≠I,若不然I+tY是对称阵,那么Y没有虚特征值,矛盾.

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