2013辽宁卷21题最后一问放缩法

若不等式ax+xx+0.5xxx+2（x+2)cosx

解题思路： 高考真题 。
解题过程：
(2013辽宁，文21)(本小题满分12分) (1)证明：当x∈[0,1]时，sin x≤x； (2)若不等式ax＋x²＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]恒成立，求实数a的取值范围． (1)证明：记F(x)＝，则F′(x)＝. 当时，F′(x)＞0，F(x)在上是增函数； 当时，F′(x)＜0，F(x)在上是减函数． 又F(0)＝0，F(1)＞0，所以当x∈[0,1]时，F(x)≥0，即sin x≥. 记H(x)＝sin x－x，则当x∈(0,1)时，H′(x)＝cos x－1＜0，所以，H(x)在[0,1]上是减函数，则H(x)≤H(0)＝0，即 sin x≤x. 综上，≤sin x≤x，x∈[0,1]． (2)解法一：因为当x∈[0,1]时， ax＋x²＋＋2(x＋2)cos x－4 ＝(a＋2)x＋x²＋ ≤(a＋2)x＋x²＋ ＝(a＋2)x. 所以，当a≤－2时， 不等式ax＋x²＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]恒成立． 下面证明，当a＞－2时， 不等式ax＋x²＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]不恒成立． 因为当x∈[0,1]时， ax＋x²＋＋2(x＋2)cos x－4 ＝(a＋2)x＋x²＋ ≥(a＋2)x＋x²＋ ＝(a＋2)x－x²－ ≥(a＋2)x－ . 所以存在x₀∈(0,1)(例如x₀取和中的较小值)满足＋2(x₀＋2)cos x₀－4＞0， 即当a＞－2时， 不等式ax＋x²＋＋2(x＋2)cos x－4≤0对x∈[0,1]不恒成立． 综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]． 解法二：记f(x)＝ax＋x²＋＋2(x＋2)cos x－4，则f′(x)＝a＋2x＋＋2cos x－2(x＋2)sin x. 记G(x)＝f′(x)，则 G′(x)＝2＋3x－4sin x－2(x＋2)cos x. 当x∈(0,1)时，cos x＞，因此 G′(x)＜2＋3x－4·x－(x＋2) ＝. 于是f′(x)在[0,1]上是减函数，因此，当x∈(0,1)时，f′(x)＜f′(0)＝a＋2，故当a≤－2时，f′(x)＜0，从而f(x)在[0,1]上是减函数，所以f(x)≤f(0)＝0，即当a≤－2时，不等式ax＋x²＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]恒成立． 下面证明，当a＞－2时， 不等式ax＋x²＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]不恒成立． 由于f′(x)在[0,1]上是减函数，且f′(0)＝a＋2＞0，f′(1)＝a＋＋2cos 1－6sin 1. 当a≥6sin 1－2cos 1－时，f′(1)≥0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，因此f(x)在[0,1]上是增函数，故f(1)＞f(0)＝0； 当－2＜a＜6sin 1－2cos 1－时，f′(1)＜0，又f′(0)＞0，故存在x₀∈(0,1)使f′(x₀)＝0，则当0＜x＜x₀时，f′(x)＞f′(x₀)＝0.所以f(x)在[0，x₀]上是增函数，所以当x∈(0，x₀)时，f(x)＞f(0)＝0. 所以，当a＞－2时， 不等式ax＋x²＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]不恒成立． 综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．