作业帮有关抽象代数中群的同态基本定理的一些疑问?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/31 07:11:28
有关抽象代数中群的同态基本定理的一些疑问?
我最近看美国Joseph J.Rotman写的《抽象代数基础教程》,这本书内容比较丰富,但中文版的翻译不太好,我数学基础也不好,看起来有点费力,现在有关于群的同态基本定理方面的问题：
若H和K是群G的子群,H为G的正规子群,设有函数 f:K→HK/H是满射,另外,f是同态,因为它是自然映射π:G→G/H的限制,由于ker π=H,所以ker f=H∩K,这里的ker π=H和ker f=H∩K如何得到,不太明白.
参考了几本抽象代数的教材,上面都给出了ker π=H,但没说理由.
我最近看美国Joseph J.Rotman写的《抽象代数基础教程》,这本书内容比较丰富,但中文版的翻译不太好,我数学基础也不好,看起来有点费力,现在有关于群的同态基本定理方面的问题：
若H和K是群G的子群,H为G的正规子群,设有函数 f:K→HK/H是满射,另外,f是同态,因为它是自然映射π:G→G/H的限制,由于ker π=H,所以ker f=H∩K,这里的ker π=H和ker f=H∩K如何得到,不太明白.
参考了几本抽象代数的教材,上面都给出了ker π=H,但没说理由.
kerPi的意思是“映射Pi的‘核’”.这里与线性代数中线性映射的“核”的概念差不多,都是“在Pi映射下像是运算单位元（线性代数中的运算是加法,所以单位元是0；抽代里是e）的全部原象的集合”.
H/H=e（只有加法单位元的平凡子群）,当然H就是Kernel了.
至于后一个,ker f=H∩K.f的定义域是K,H是Pi的kernel,Pi的定义域是G,你不能保证H是K或者K的子群,所以当然是ker f=H∩K.这个是很自然的.
再问： H/H=e，我也这样理解的，但是，商群本质上是子群H的陪集，如果要从陪集的角度思考，该如何理解？ 第二个我暂时还没想明白，谢谢。
再答： HH=H映射f是映射Pi在K上的限制，所以在K上Pi和f是一样的，不论性质或者结构。那么，单从K上考虑，f的Ker是Pi的Ker的一部分，直觉上这部分就是“既在K上，又在KerPi也就是H上的那些东西”，所以有ker f=H∩K。
H/H=e（只有加法单位元的平凡子群）,当然H就是Kernel了.
至于后一个,ker f=H∩K.f的定义域是K,H是Pi的kernel,Pi的定义域是G,你不能保证H是K或者K的子群,所以当然是ker f=H∩K.这个是很自然的.
再问： H/H=e，我也这样理解的，但是，商群本质上是子群H的陪集，如果要从陪集的角度思考，该如何理解？ 第二个我暂时还没想明白，谢谢。
再答： HH=H映射f是映射Pi在K上的限制，所以在K上Pi和f是一样的，不论性质或者结构。那么，单从K上考虑，f的Ker是Pi的Ker的一部分，直觉上这部分就是“既在K上，又在KerPi也就是H上的那些东西”，所以有ker f=H∩K。