作业帮单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/11 17:52:51
单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点．
（1）求证：直线AC与平面D1EF平行；
（2）求二面角D-EF-D1的正弦值；
（3）求直线AC与平面D1EF的距离．
（1）求证：直线AC与平面D1EF平行；
（2）求二面角D-EF-D1的正弦值；
（3）求直线AC与平面D1EF的距离．
（Ⅰ）证明：在正方形ADD1A1中，因为CD=AD-AB-BC=5，
所以三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形ABC的边AC=5．
因为AB=3，BC=4，所以AB2+BC2=AC2，所以AB⊥BC．（2分）
因为四边形ADD1A1为正方形，AA1∥BB1，
所以AB⊥BB1，而BC∩BB1=B，
所以AB⊥平面BCC1B1．（5分）
（Ⅱ）因为AB⊥平面BCC1B1，
所以AB为四棱锥A-BCQP的高．
因为四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，
所以梯形BCQP的面积为SBCQP＝
1
2(BP+CQ)×BC＝20．
所以四棱锥A-BCQP的体积VA−BCQP＝
1
3SBCQP×AB＝20．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，AB，BC，BB1两两互相垂直．
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，
则A（0，0，3），B（0，0，0），C（4，0，0），P（0，3，0），Q（4，7，0），
所以
AP＝(0，3，−3)，
AQ＝(4，7，−3)，
设平面PQA的一个法向量为
n1=（x，y，z）．
则
n1•
所以三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形ABC的边AC=5．
因为AB=3，BC=4，所以AB2+BC2=AC2，所以AB⊥BC．（2分）
因为四边形ADD1A1为正方形，AA1∥BB1，
所以AB⊥BB1，而BC∩BB1=B，
所以AB⊥平面BCC1B1．（5分）
（Ⅱ）因为AB⊥平面BCC1B1，
所以AB为四棱锥A-BCQP的高．
因为四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，
所以梯形BCQP的面积为SBCQP＝
1
2(BP+CQ)×BC＝20．
所以四棱锥A-BCQP的体积VA−BCQP＝
1
3SBCQP×AB＝20．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，AB，BC，BB1两两互相垂直．
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，
则A（0，0，3），B（0，0，0），C（4，0，0），P（0，3，0），Q（4，7，0），
所以
AP＝(0，3，−3)，
AQ＝(4，7，−3)，
设平面PQA的一个法向量为
n1=（x，y，z）．
则
n1•
在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,BC,AA1的中点.
正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点.(1)证明：EF//平面A1B1C1D1;(2)证明：
正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BC、C1D1的中点．求证：
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：
正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,证EF平行平面DA1C1
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AB=1，点E、F分别是AB、BC的中点．
正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1是面A1B1C1D1的中心,E,F分别是AB和BC中点,求异面直线AO1与EF所
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是AB、C1D1的中点．
在正方体ABCD——A1B1C1D1中,E,F,G,分别是 AB,BC,AA1,中点.求证B1D垂直面EFG.
在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,求证：EF⊥平面BB1O
在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E、F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,求证：EF⊥平面BB1O
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,0是底面ABCD的中心,求证EF垂直平面B1BO