一道常微分方程问题设函数f在[1,＋∞)是连续函数.若由曲线y=f(x),直线x=1,x=t(t>1)与x轴所围成的平面

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/18 01:23:36

一道常微分方程问题
设函数f在[1,＋∞)是连续函数.若由曲线y=f(x),直线x=1,x=t(t>1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为V(t)=π/3[t^2f(t)-f(1)]试求y=f(x)所满足的微分方程,并求微分方程满足条件y(2)=2/9的特解
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我根据体积公式得到方程,再求导以后算到了3f^2(t)=2tf(t)+t^2f'(t),而且我也不知道我有没有算错.

π∫(1→t)(f(x))^2dx=π/3*(t^2f(t)-f(1))
所以3(f(t))^2=(t^2f(t))'
令t^2f(t)=u,则f(t)=u/t^2
所以3u^2/t^4=du/dt
du/u^2=3dt/t^4
-1/u=-1/t^3+C
即u=t^2f(t)=1/(1/t^3+C)
令t=2：4*2/9=1/(1/8+C),C=1
所以t^2f(t)=1/(1/t^3+1)=t^3/(t^3+1)
f(t)=t/(t^3+1)

大学数学微积分设函数f(x)满足xf'(x)-3f(x)=-6x^2,且曲线y=f(x)与直线x=1及x轴所围成的平面图设函数y=∫(0,x)(x-t)f(t)dt,f(x)为连续函数, 设函数f(x)在[a,b]上连续,则由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b,y=0所围平面图形的面积为（）设直线l:y=t^2-t,t属于(0,1/2).若直线l与f(x)=x^2-x的图像以及y轴所围成封闭图形的面积是S1( 设函数y=f(x)是定义在【-1,1】上的连续函数,在f(-1)*f(1) 设函数f(x)=(1-2x)/(x-2)若曲线在y=f(x)与y=g(x)关于直线y=x对称,求g(x)的表达式.请写出函数f(x)在区间[a,b]上连续,曲线y=f(x)与直线x=a,x=b,y=o所围成的平面图形的面积等于∫f(x)dx 设f(x)是以T为周期的连续函数,即f(x+T)=f(x), 求解一题高数题!设f(x)是连续函数,且f(x)=x+2ʃ(1到0）f(t)dt,则f(x)=( )A(x^2 已知函数f(x)=-x+2+xlnx.若直线y=t与曲线y=f(x)(x属于【1/e,e])始终有公共点,求实数t的取值已知函数y=e^x,求函数的图像在点x=1出的切线l的方程,求由曲线y=f(x),直线l,x轴,y轴所围的封闭图形面积. 设f（x）=x+2∫f(t)dt,积分上限是1,下限是0 其中f（x）为连续函数,求f（x）