与抛物线y=x^2围成面积为4/3的直线与该抛物线交于A和B两点,则AB中点P的轨迹是什么
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/14 18:39:49
与抛物线y=x^2围成面积为4/3的直线与该抛物线交于A和B两点,则AB中点P的轨迹是什么
设点A在点B的左侧,且A、B的坐标分别是(a,a^2)、(b,b^2).显然有:b>a.
分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别是C、D.
则|AC|=a^2、|BD|=b^2、|CD|=b-a.
∴S(梯形ABCD)=(1/2)(|AC|+|BD|)|CD|=(1/2)(a^2+b^2)(b-a).
显然有:
S(曲边形ABCD)
=∫(上限为b、下限为a)x^2dx=(1/3)x^3|(上限为b、下限为a)=(1/3)(b^3-a^3).
依题意,有:S(梯形ABCD)-S(曲边形ABCD)=4/3,
∴(1/2)(a^2+b^2)(b-a)-(1/3)(b^3-a^3)=4/3,
∴3(a^2+b^2)(b-a)-2(b^3-a^3)=8,
∴3(a^2+b^2)(b-a)-2(b-a)(b^2+ab+a^2)=8,
∴(b-a)(a^2+b^2-2ab)=8, ∴(b-a)^3=8, ∴b-a=2,
∴a^2+b^2-2ab=4.
令点P的坐标为(x,y),则由中点坐标公式,有:
x=(a+b)/2、y=(a^2+b^2)/2,
∴2x=a+b、2y=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4x^2-2ab,
∴2ab=4x^2-2y.
将2ab=4x^2-2y、a^2+b^2=2y代入到a^2+b^2-2ab=4中,得:
2y-(4x^2-2y)=4, ∴y-x^2=1, ∴y=x^2+1.
∴满足条件的点P的轨迹是抛物线y=x^2+1.
分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别是C、D.
则|AC|=a^2、|BD|=b^2、|CD|=b-a.
∴S(梯形ABCD)=(1/2)(|AC|+|BD|)|CD|=(1/2)(a^2+b^2)(b-a).
显然有:
S(曲边形ABCD)
=∫(上限为b、下限为a)x^2dx=(1/3)x^3|(上限为b、下限为a)=(1/3)(b^3-a^3).
依题意,有:S(梯形ABCD)-S(曲边形ABCD)=4/3,
∴(1/2)(a^2+b^2)(b-a)-(1/3)(b^3-a^3)=4/3,
∴3(a^2+b^2)(b-a)-2(b^3-a^3)=8,
∴3(a^2+b^2)(b-a)-2(b-a)(b^2+ab+a^2)=8,
∴(b-a)(a^2+b^2-2ab)=8, ∴(b-a)^3=8, ∴b-a=2,
∴a^2+b^2-2ab=4.
令点P的坐标为(x,y),则由中点坐标公式,有:
x=(a+b)/2、y=(a^2+b^2)/2,
∴2x=a+b、2y=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4x^2-2ab,
∴2ab=4x^2-2y.
将2ab=4x^2-2y、a^2+b^2=2y代入到a^2+b^2-2ab=4中,得:
2y-(4x^2-2y)=4, ∴y-x^2=1, ∴y=x^2+1.
∴满足条件的点P的轨迹是抛物线y=x^2+1.
过抛物线y^2=4x的焦点作直线与抛物线交于A、B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程
经过抛物线y^2=4x的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点,若线段AB的斜率为K,中点M的轨迹方程是?
过点P(-1,0)的直线与抛物线y=x^2交于A,B两点,求线段AB中点M的轨迹方程
直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,与抛物线交于A,B两点,则弦AB中点的轨迹方程为______.
已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的
抛物线的一道题过抛物线y^2=8x 的焦点作直线交抛物线于P.Q两点,则线段P,Q的中点的轨迹方程为A.y=4X-1 B
设直线y=2x+b与抛物线y^2=4x交于A、B两点,已知限AB=3,点P为抛物线上一点,三角形PAB的面积为30
如果已知抛物线y^2=2x斜率为1的直线与抛物线交于ab两点 求线段ab中点的轨迹方程
过抛物线y^2=4x得焦点作直线与抛物线相交于A.B两点,求线段AB的中点的轨迹方程是?
过点P(0,1)的动直线与抛物线y=x^2交于A和B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程(参数方程)
抛物线y^2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则AB绝
斜率为1的直线与抛物线y2=2x交于不同两点A、B,求线段AB中点M的轨迹方程.