设区域D：x^2+y^2≤R^2,则二重积分∫∫D√R^2-x^2-y^2dxdy的几何意义是什么?注：∫∫的下面是D

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 22:52:49

设区域D：x^2+y^2≤R^2,则二重积分∫∫D√R^2-x^2-y^2dxdy的几何意义是什么?注：∫∫的下面是D
答案是半径为R的球体的体积的一半，求原因，

你可以仿照定积分的几何意义来思考.
二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积,以D为底,以被积函数z=f(x,y)为顶部曲面,然后围出一个曲顶柱体,这个柱体的体积就是二重积分的结果.
就本题而言,D就是x^2+y^2≤R^2,是个圆,
顶部曲面为z=√(R^2-x^2-y^2),这就是以原点为球心,R为半径的上半球,它与D所围的曲顶柱体就是这个半球,因此本题就相当于求这个半球的体积,所以象这种题可直接算出结果为2/3πR^3
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