如题,设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,记D1P/D1B=λ,当∠APC为钝角时,λ
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/10 07:32:38
如题,设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,记D1P/D1B=λ,当∠APC为钝角时,λ的取值范围是
以D为原点、DC所在直线为x轴、DA所在直线为y轴、DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,并使点B1位于第一卦限内.
∵ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,∴容易得出:B、D1的坐标依次是:
B(1,1,0)、D1(0,0,1).得:向量D1B=(1,1,-1).
∵D1P/D1B=λ,∴向量D1P=λ向量D1B=(λ,λ,-λ).
∵ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,∴容易得出:A、C的坐标依次是:
A(0,1,0)、(1,0,0),又D1的坐标为(0,0,1),
向量D1A=(0,1,-1)、向量D1C=(1,0,-1)、向量AC=(1,-1,0).
由向量D1P=(λ,λ,-λ)、向量D1A=(0,1,-1)、向量D1C=(1,0,-1),得:
向量PA=(-λ,1-λ,λ-1)、向量PC=(1-λ,-λ,λ-1),
∴向量PA·向量PC=λ^2-λ+λ^2-λ+λ^2-2λ+1=3λ^2-4λ+1,
|向量PA|=√[λ^2+(1-λ)^2+(λ-1)^2]=√[λ^2+2(λ-1)^2],
|向量PC|=√[(1-λ)^2+λ^2+(λ-1)^2]=√[λ^2+2(λ-1)^2],
∴|向量PA||向量PC|=λ^2+2(λ-1)^2.
∵∠APC为钝角,∴cos∠APC<0,
∴cos∠APC=向量PA·向量PC/(|向量PA||向量PC|)<0,
∴(3λ^2-4λ+1)/[λ^2+2(λ-1)^2]<0,
∵λ^2+2(λ-1)^2>0,∴3λ^2-4λ+1<0,∴(3λ-1)(λ-1)<0,∴1/3<λ<1.
即:满足条件的λ的取值范围是(1/3,1).
∵ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,∴容易得出:B、D1的坐标依次是:
B(1,1,0)、D1(0,0,1).得:向量D1B=(1,1,-1).
∵D1P/D1B=λ,∴向量D1P=λ向量D1B=(λ,λ,-λ).
∵ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,∴容易得出:A、C的坐标依次是:
A(0,1,0)、(1,0,0),又D1的坐标为(0,0,1),
向量D1A=(0,1,-1)、向量D1C=(1,0,-1)、向量AC=(1,-1,0).
由向量D1P=(λ,λ,-λ)、向量D1A=(0,1,-1)、向量D1C=(1,0,-1),得:
向量PA=(-λ,1-λ,λ-1)、向量PC=(1-λ,-λ,λ-1),
∴向量PA·向量PC=λ^2-λ+λ^2-λ+λ^2-2λ+1=3λ^2-4λ+1,
|向量PA|=√[λ^2+(1-λ)^2+(λ-1)^2]=√[λ^2+2(λ-1)^2],
|向量PC|=√[(1-λ)^2+λ^2+(λ-1)^2]=√[λ^2+2(λ-1)^2],
∴|向量PA||向量PC|=λ^2+2(λ-1)^2.
∵∠APC为钝角,∴cos∠APC<0,
∴cos∠APC=向量PA·向量PC/(|向量PA||向量PC|)<0,
∴(3λ^2-4λ+1)/[λ^2+2(λ-1)^2]<0,
∵λ^2+2(λ-1)^2>0,∴3λ^2-4λ+1<0,∴(3λ-1)(λ-1)<0,∴1/3<λ<1.
即:满足条件的λ的取值范围是(1/3,1).
已知正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为1,点P在线段BD1上.当∠APC最大时,三棱锥P—ABC的体积为
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P在线段A1B上,则|AP|+|D1P|的最小值为?
如图,已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,∠PDA=60°.
如图,已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,∠PDA=60°
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P是AD中点,二面角A-BD1-P的大小?
正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1,平面α垂直于体对角线BD1,则该正方体在平面α上射影的面积是( )
正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,P是面对角线BC1上一动点,Q是底面ABCD上一动点,则D1P+PQ的最小值
如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,证BD1垂直平面ACB1
在正方体ABCD-A1B1C1D1中.对角线BD1与面对角线AC所成的角为
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,过对角线BD1的一个平面交AA1于E,交CC1于F,得四边形BFD1E,
关于空间立体几何题正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1.(一)请画出截面A1DC1与对角线D1B的交点M;(二)求出
已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,∠PDA=60°.(1)求DP与CC1所...