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已知共焦点的椭圆和双曲线,焦点为F1,F2,记它们其中的一个交点为P,且∠F1PF2=120°,则该椭圆离心率e1与双曲

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/13 04:37:26
已知共焦点的椭圆和双曲线,焦点为F1,F2,记它们其中的一个交点为P,且∠F1PF2=120°,则该椭圆离心率e1与双曲线离心率e2必定满足的关系式为(  )
A.
1
4
e
由题意设焦距为2c,椭圆的长轴长2a,双曲线的实轴长为2m,不妨令P在双曲线的右支上
由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2m  ①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a  ②
又∠F1PF2=1200,故|PF1|2+|PF2|2+|PF1||PF2|=4c2   ③
2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2
-①2+②2得|PF1||PF2|=a2-m2
将④⑤代入③得3a2+m2=4c2,即
3

c2
a2+
1

c2
m2=1,即
3
4e12+
1
4e22=1
故选C