已知函数f(x)=2(sinx+cosx)+2sinxcosx+1,求f(x)的值域

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/26 10:13:44

已知函数f(x)=2(sinx+cosx)+2sinxcosx+1,求f(x)的值域
（1）求函数的值域；
（2）若不等式f(x)≥m对于x∈【0,π/2】都成立,求m的最大值

答：
f(x)=2(sinx+cosx)+2sinxcosx+1
=2(sinx+cosx)+2sinxcosx+sin²x+cos²x
=2(sinx+cosx)+(sinx+cosx)²
=(sinx+cosx+1)²-1
（1）设t=sinx+cosx∈[-√2,√2]
所以：f(x)=(t+1)²-1
对称轴t=-1,最小值-1
t=√2时取得最大值,最大值(√2)²+2√2=2√2+2
所以：f(x)的值域为[-1,2√2+2]
（2）0=m
所以：m的最大值为3

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