如何证明任何一个二次型f都存在一个正定二次型g以及一个正数m,使得f mg是一个正定二次型

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 15:50:07

如何证明任何一个二次型f都存在一个正定二次型g以及一个正数m,使得f mg是一个正定二次型
f+mg,漏了一个加号

设A是f对应的二次型矩阵,B是g对应的二次型矩阵.
由于B正定,那么存在可逆矩阵P使得B=PE(P^T)=P(P^T),
设C=PAP^T,那么C显然也是一个对称阵,那么存在正交矩阵T,使得C=QJQ^T,
J是对角性,设s是J对角元中最小的,取m=s+!.
那么显然J+mE是对角元都是正数的对角矩阵,那么Q（J+mE）Q^T=QJQ^T+mQQ^T=C+mE正定.
那么（P^-1）(C+mE)(P^T)^-1=A+mB,显然A+mB与C+m合同,那么必然A+mB正定.
命题的正.

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