作业帮已知函数f（x）=x3+x-16．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/17 22:49:36
已知函数f（x）=x3+x-16．
（1）求曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线的方程；
（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
（3）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=-
（1）求曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线的方程；
（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
（3）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=-
| 1 |
| 4 |
（1）可判定点（2，-6）在曲线y=f（x）上．
∵f′（x）=（x3+x-16）′=3x2+1，
∴在点（2，-6）处的切线的斜率为k=f′（2）=13．
∴切线的方程为y=13（x-2）+（-6），即y=13x-32；
（2）设切点为（x0，y0），
则直线l的斜率为f′（x0）=3x02+1，
∴直线l的方程为y=（3x02+1）（x-x0）+x03+x0-16，
又∵直线l过点（0，0），
∴0=（3x02+1）（-x0）+x03+x0-16，
整理得，x03=-8，
∴x0=-2，
∴y0=（-2）3+（-2）-16=-26，
k=3×（-2）2+1=13．
∴直线l的方程为y=13x，切点坐标为（-2，-26）．
（3）∵切线与直线y=-
x
4+3垂直，
∴切线的斜率k=4．
设切点的坐标为（x0，y0），则f′（x0）=3x02+1=4，
∴x0=±1，
∴
x0＝1
y0＝−14或
x0＝−1
y0＝−18
切线方程为y=4（x-1）-14或y=4（x+1）-18．
即y=4x-18或y=4x-14．
∵f′（x）=（x3+x-16）′=3x2+1，
∴在点（2，-6）处的切线的斜率为k=f′（2）=13．
∴切线的方程为y=13（x-2）+（-6），即y=13x-32；
（2）设切点为（x0，y0），
则直线l的斜率为f′（x0）=3x02+1，
∴直线l的方程为y=（3x02+1）（x-x0）+x03+x0-16，
又∵直线l过点（0，0），
∴0=（3x02+1）（-x0）+x03+x0-16，
整理得，x03=-8，
∴x0=-2，
∴y0=（-2）3+（-2）-16=-26，
k=3×（-2）2+1=13．
∴直线l的方程为y=13x，切点坐标为（-2，-26）．
（3）∵切线与直线y=-
x
4+3垂直，
∴切线的斜率k=4．
设切点的坐标为（x0，y0），则f′（x0）=3x02+1=4，
∴x0=±1，
∴
x0＝1
y0＝−14或
x0＝−1
y0＝−18
切线方程为y=4（x-1）-14或y=4（x+1）-18．
即y=4x-18或y=4x-14．