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过圆内一点最长的弦是过之一点的直径,过这一点最短的的弦是什么?怎样证明?

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/28 04:18:31
过圆内一点最长的弦是过之一点的直径,过这一点最短的的弦是什么?怎样证明?
我刚上初三,能用学过的知识证明吗?
具体怎样证明?
设圆半径为R,圆心O,P圆内一定点,于是OP为定值设过P的一条弦为AB,连OA,OB,作OH⊥AB于H
于是由垂径定理有AH=HB
由勾股定理,
于是AB²=4AH²=4(R²-OH²)=4R²-4(OP²-PH²)
=4R²-4OP²+4PH²
要使AB为最小的,而4R²-4OP²为定值
于是要4PH²最小,为0,此时P与H重合.即过P点最短的的弦是垂直于OP的弦