（2014•邻水县模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/21 05:48:02

（2014•邻水县模拟）已知：如图，抛物线y=ax²+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．
①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？
②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）∵抛物线过A（3，0），B（6，0），
∴

9a+3b+2＝0
36a+6b+2＝0，
解得：

a＝
1
9
b＝−1，
∴所求抛物线的函数表达式是y=
1
9x²-x+2．

（2）①∵当x=0时，y=2，
∴点C的坐标为（0，2）．
设直线BC的函数表达式是y=kx+b．
则有

6k+b＝0
b＝2，
解得：

k＝−
1
3
b＝2．
∴直线BC的函数表达式是y=-
1
3x+2．
∵0＜x＜6，点P、Q的横坐标相同，
∴PQ=y_Q-y_P=（-
1
3x+2）-（
1
9x²-x+2）
=-
1
9x²+
2
3x
=-
1
9（x-3）²+1
∴当x=3时，线段PQ的长度取得最大值．最大值是1．

②当∠OAQ=90°时，点P与点A重合，
∴P（3，0）

当∠QOA=90°时，点P与点C重合，
∴x=0（不合题意）
当∠OQA=90°时，
设PQ与x轴交于点D．
∵∠OQD+∠ADQ=90°，∠QAD+∠AQD=90°，
∴∠OQD=∠QAD．
又∵∠ODQ=∠QDA=90°，
∴△ODQ∽△QDA．
∴
DQ
OD＝
DA
DQ，即DQ²=OD•DA．
∴（-
1
3x+2）²=x（3-x），
10x²-39x+36=0，
∴x₁=
3
2，x₂=
12
5，
∴y₁=
1
9×（
3
2）²-
3
2+2=
3
4；
y₂=
1
9×（
12
5）²-
12
5+2=
6
25；
∴P（
3
2，
3
4）或P（
12
5，
6
25）．
∴所求的点P的坐标是P（3，0）或P（
3
2，
3
4）或P（
12
5，
6
25）．