设数列{an}（n∈N）满足a0=0，a1=2，且对一切n∈N，有an+2=2an+1-an+2．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/25 20:29:06

设数列{a_n}（n∈N）满足a₀=0，a₁=2，且对一切n∈N，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设 Tn＝

（1）由a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2可得：
数列a_n+1-a_n为等差数列，且首项a₁-a₀=2-0=2，公差为2（3分）
∴a_n-a_n-1=（a₁-a₀）+2（n-1）=2+2（n-1）=2n（4分）
∴an＝a1+(a2−a1)+(a3−a2)++(an−an−1)＝2+4+6++2n＝
n(2+2n)
2＝n(n+1)（6分）
（2）由（1）可知：
1
(n+2)an＝
1
n(n+1)(n+1)＝
1
2[
1
n(n+1)−
1
(n+1)(n+2)]（7分）
∴Tn＝
1
3a1+
1
4a2+
1
5a3++
1
(n+2)an=
1
2×[(
1
1×2−
1
2×3)+(
1
2×3−
1
3×4)++(
1
n×(n+1)−
1
(n+1)×(n+2))]=
1
2×[
1
1×2−
1
(n+1)×(n+2)]＝
1
4−
1
2(n+1)×(n+2)＜
1
4（10分）
易知：T_n在n∈N^*时，单调递增，∴Tn≥T1＝
1
6（11分）
∴
1
6≤Tn＜
1
4（12分）

设数列｛an｝满足an+1/an=n+2/n+1,且a1＝2 设数列{an},a1=3,an+1=3an-2（n∈N*）数列an对一切自然数n∈N +,满足a1+2a2+2^2a3+.+2^(n-1)an=9-6n,求an的通项共式已知数列{an}满足an+1=2an+n+1（n∈N*）．已知数列{an}满足：a1=3,an+1=（3an-2）/an ,n∈N*．（Ⅰ）证明数列{(an-1)/an-2 数列｛an｝满足a1=1,且an=an-1+3n-2,求an 数列an满足a1=2,对于任意的n∈正整数集,都有an＞0,且（n+1)an^2+an*an+1(是下标）-n(an+1 已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=an+an+12，n∈N*．已知数列｛an｝满足an>0且对一切n属于正整数,都有a1^3+a2^3+...+an^3=sn^2,sn是｛an｝的前数列{an}满足a1=1 an+1=2n+1an/an+2n 设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N+．已知数列{an}满足an+an+1=2n+1（n∈N*），求证：数列{an}为等差数列的充要条件是a1=1．