作业帮已知数列{an}满足an+an+1=2n+1（n∈N*），求证：数列{an}为等差数列的充要条件是a1=1．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/08 16:11:11
已知数列{an}满足an+an+1=2n+1（n∈N*），求证：数列{an}为等差数列的充要条件是a1=1．
充分性：∵an+an+1=2n+1，
∴an+an+1=n+1+n，
即an+1-（n+1）=-（an-n），
若a1=1，则a2-（1+1）=-（a1-1）=0，
∴a2=2，以此类推得到an=n，
此时{an}为等差数列．
必要性：
∵an+an+1=2n+1，
∴an+2+an+1=2n+3，
两式相减得an+2-an=2，
若数列{an}为等差数列，则an+2-an=2d，
即2d=2，∴d=1．
则an+an+1=2an+1=2n+1，
∴an=n，即a1=1成立．
综上数列{an}为等差数列的充要条件是a1=1．
∴an+an+1=n+1+n，
即an+1-（n+1）=-（an-n），
若a1=1，则a2-（1+1）=-（a1-1）=0，
∴a2=2，以此类推得到an=n，
此时{an}为等差数列．
必要性：
∵an+an+1=2n+1，
∴an+2+an+1=2n+3，
两式相减得an+2-an=2，
若数列{an}为等差数列，则an+2-an=2d，
即2d=2，∴d=1．
则an+an+1=2an+1=2n+1，
∴an=n，即a1=1成立．
综上数列{an}为等差数列的充要条件是a1=1．
已知数列{an}满足an+an+1=2n+1（n∈N*），求证：数列{an}为等差数列的充要条件是a1=1．
已知数列{An}满足A1=1,An+1=2An+2^n.求证数列An/2是等差数列
nSn+1=(n+2)Sn+an+2 求证a1=0是数列{an}为等差数列的充要条件
已知数列an满足a1=4 an=4-4/an-1(n大于等于2) 求证bn是等差数列 求数列an的通项公式
已知数列{an}满足2an/an+2=an+1(n属于正整数),a1=1/1006.求证:数列{1/an}是等差数列,并
已知数列an满足:an+1-2an=2^n+1,且a1=2 (1)证明{an/2^n}是等差数列 (2)求数列an的
已知数列{an}满足a1=3 an*a(n-1)=2a(n-1)-1,求证数列{1/(an-1)}是等差数列,并求出数列
设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an=(Sn/n)+2(n-1)(n∈N*) 求证:数列an为等差数列,
已知数列｛an｝满足a1=1,an+1=2an/（an+2）（n∈N+）,则数列｛an｝的通项公式为
已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=3an+2(n属于N) 1.求证数列{an+1}是等比数列 2.求{an}的
已知数列{an}满足a1=2,a(n+1)=(3an-2)/(2an-1),求证{1/(an-1)}是等差数列,并求数列
已知数列{an}满足：a1=3,an+1=（3an-2）/an ,n∈N*．（Ⅰ）证明数列{(an-1)/an-2