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(2012•杭州一模)已知直线x+ky-3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/05/28 16:47:21
(2012•杭州一模)已知直线x+ky-3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知圆O:x2+y2=1,直线l:mx+ny=1.试证明:当点P(m,n)在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交,并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围.
(1)由x+ky-3=0得,(x-3)+ky=0,
所以直线过定点(3,0),即F为(3,0).
设椭圆C的方程为
x2
a2+
y2
b2=1(a>b>0),


c=3
a+c=8
a2=b2+c2解得

a=5
b=4
c=3
故所求椭圆C的方程为
x2
25+
y2
16=1.

(2)因为点P(m,n)在椭圆C上运动,所以
m2
25+
n2
16=1.
从而圆心O到直线l的距离
d=
1

m2+n2