如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,已知A（0,4）、C（5,0）．作

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/16 09:48:25

如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,已知A（0,4）、C（5,0）．作∠AOC的角平分线交AB于点D,连接DC,过D作DE⊥DC交OA于点E．
（1）求点D的坐标；
（2）求证：△ADE≌△BCD；
（3）抛物线y=4/5x^2-24/5x+4 经过A、C两点,连接AC．探索：若点P是x轴下方抛物线上一动点,求点P作平行于y轴的直线交AC于点M．是否存在点P,使线段MP长度有最大值?若存在,求出点P的坐标；若不存在,请你说明理由．

过点D作DF垂直OC于F
所以AB平行OC
角OFD=90度
因为四边形OABC是矩形
所以AB=OC
OA=BC
角A=角B=角AOC=90度
所以角O+角OFD=180度
所以OA平行DF
所以四边形OADF是平行四边形
因为角A=90度
所以OADF是矩形
因为OD平分角AOC
所以角OAD=角DOC=1/2角AOC=45度
因为AB平行OC
所以角ADO=角DOC
所以角AOD=角ADO=45度
所以OA=OD
所以四边形OADF是正方形
所以OA=AD=DF=OF
因为点A(0 ,4)
所以OA=AD=DF=OF=4
所以点D(4,4)
(2)因为AD=DF=OA（已证）
OA=BC（已证）
所以AD=BC
因为角A=角B=90度
角B+角BCD+角BDC=180度
所以角BDC+角BCD=90度
因为DE垂直DC
所以角EDC=90度
因为角ADE+角EDC+角BDC=180度
所以角ADE=角BCD
所以直角三角形ADE和直角三角形BCD全等（ASA)
(3)存在点P,使线段MP的长度有最大值
设抛物线与X轴相交的另个点为N,
4/5X^2-24/5X+4=0
X1=1
X2=1
因为抛物线经过点A,C
所以点N(0 ,1)
所以ON=1
CN=OC-ON=5-1=4
因为线段MP的长度有最大值
又因为PM平行y轴(OA)
所以四边形MNPC是正方形
所以MP=OC
设MP与OC相交于点G
所以CG=NG=1/2CN=2
OG=OC-CG=3
所以点P的横坐标是3
把点P的横坐标3代人抛物线y=4/5x^2-24/5x+4并解得y=-16/5
所以点p(3,-16/5）