作业帮线性代数,矩阵的相似与合同
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 17:30:40
线性代数,矩阵的相似与合同
老师给了下面两个命题，
两个方阵相似且合同，则有两个矩阵特征值相同且都是实对称阵，
两个方阵合同不相似，则有特征值不想同且正惯性指数和负惯性指数还有零的个数相同，
请问为什么对，后天考试
老师给了下面两个命题，
两个方阵相似且合同，则有两个矩阵特征值相同且都是实对称阵，
两个方阵合同不相似，则有特征值不想同且正惯性指数和负惯性指数还有零的个数相同，
请问为什么对，后天考试
1. A,B相似,则特征值相同 --这是定理,相似矩阵的特征多项式相同
A,B合同: 概念来源自二次型, 一般是实对称矩阵
2. A,B合同, 则正负惯性指数相同,秩相同 --定理
A,B不相似,由于A,B为实对称矩阵, 都可对角化, 所以特征值不同
--否则A,B相似于同一个对角矩阵.
再问： 我们教材上给的合同定义没要求是实对称阵啊， 还有A,B合同，则惯性指数相同，秩相同，为什么啊，我们版本的教材没有给这个定理啊，能不能给一下证明，或者从教材照照片发过来也行
再答： 相似且合同, 推出都是实对称矩阵, 这我做不到 A,B合同, 则 A=C^TBC, C可逆, 所以 r(A)=r(B) A,B合同, 则它们的规范型相同, 这是因为求规范型即为合同变换 规范型相同则正负惯性指数相同,进而零的个数相同
A,B合同: 概念来源自二次型, 一般是实对称矩阵
2. A,B合同, 则正负惯性指数相同,秩相同 --定理
A,B不相似,由于A,B为实对称矩阵, 都可对角化, 所以特征值不同
--否则A,B相似于同一个对角矩阵.
再问： 我们教材上给的合同定义没要求是实对称阵啊， 还有A,B合同，则惯性指数相同，秩相同，为什么啊，我们版本的教材没有给这个定理啊，能不能给一下证明，或者从教材照照片发过来也行
再答： 相似且合同, 推出都是实对称矩阵, 这我做不到 A,B合同, 则 A=C^TBC, C可逆, 所以 r(A)=r(B) A,B合同, 则它们的规范型相同, 这是因为求规范型即为合同变换 规范型相同则正负惯性指数相同,进而零的个数相同