若一个函数满足f(x)f(y)=f(x+y),则它一定是指数函数嘛?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 00:14:07

若一个函数满足f(x)f(y)=f(x+y),则它一定是指数函数嘛?
除了常值函数

可以证明（柯西法）
（1）先证明x为整数的情况,设x=n（正整数),则f(n)=f^n(1)
令f(1)=a,则f(n)=a^n
令x=0,则f(0)=f(0)^2,故f(0)=0或1
显然f(0)不为0,否则f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0为常数函数
又f(0)=f(n-n)=f(n)f(-n)=1,f(-n)=1/f(n)=a^(-n)
（2）证明有理数情形
设x=m/n(m,n为整数,n非0),则f(m)=f(m/n*n)=f(m/n)^n=a^m
f(m/n)=a^(m/n)
(3)证明实数情形
当y趋于0时,limf(x+y)=limf(x)f(y)=f(x)*limf(y)=f(x)*f(0)=f(x)*1=f(x)
注意f(x)在点x=0处连续lim(x趋于0）f(x)=a^0=1
所以f(x)为R上的连续函数,因此有f(x)=a^x(x属于任何实数）
注：从群论看,f(x)f(y)=f(x+y)说明y=f(x)与普通加法群同态,做映射f(x)=a^x,则指数函数恰好跟加法群同态.

若一个函数满足f(x)f(y)=f(x+y),则它一定是指数函数嘛? 函数f(x+y)=f(x)f(y) x,Y分别大于0 在幂函数对数函数指数函数余弦函数中指数函数满足该式 f(x+y)=f(x)f(y),证f(x)是指数函数问几道指数函数的题目1.满足条件f(x1).f(x2)=f(x1+x2)的一个函数是?2.若指数函数y=(a-2)ˇx在若函数y=f(x)满足f(T-x)=f(x)则说明该函数的对称轴是若定义域为R函数f(x)满足f(x+y)=2*f(x)*f(y),且f(0)不等于0,证明f（x）是偶函数证明:若函数y=f(x),x为实数满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a为实数）,则f(x)是周期函数,且6a是它设函数y=f(x)是定义域在R,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y) 已知函数f(x)满足f(2)=1/2,2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),则f(2012)=? 已知函数f(x)满足f(1)=1/4,f(x)+f(y)=4f(x+y/2)*f(x-y/2)则f(-2011)=? 定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+2）=-1/f（x）为什么4是它的一个周期? 已知函数f(x)>0,且满足f(x·y)=f(x)·f(y),若x>1,则f(x)>1