已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）,⊙O：x2+y2=b2,点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是⊙

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/21 12:37:24

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）,⊙O：x2+y2=b2,点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是⊙O上的动点．
（1）若P（-1,
3
）,PA是⊙O的切线,求椭圆C的方程；
（2）是否存在这样的椭圆C,使得
PA
PF
是常数?如果存在,求C的离心率,如果不存在,说明理由．

（1）由点P（-1,3）,⊙O的半径为b,则b^2=(-1)^2+3^2=10
又PA是⊙O的切线,A（-a,0),PA垂直于OA
所以：a^2-b^2=(-1+a)^2+(3-0)^2 解得：a=10
因此所求椭圆的方程为x^2/100+y^2/10=1.
(2) 存在这样的椭圆C满足条件；
设⊙O上任意一点P（m,n),则n^2=b^2-m^2,
PA^2/PF^2=[(m+a)^2+n^2]/[(m+c)^2+n^2]
=(m^2+2ma+a^2+b^2-m^2)/(m^2+2mc+c^2+b^2-m^2)
=(2ma+a^2+b^2)/(2mc+c^2+b^2)
=(2am+2a^2-c^2)/(2cm+a^2)
由题意可知若PA/PF为常数存在,则可设PA^2/PF^2=K(K为大于0的常数）
则2am+2a^2-c^2=K(2cm+a^2),整理得：（2a-2cK)m+(2a^2-c^2-Ka^2)=0（*）
因为m是[-b,b]内任意实数 ,方程（*）恒成立
因此：2a-2cK=0且2a^2-c^2-Ka^2=0,从而消去K得c^3-2a^2c+a^3=0
(c^3-a^2c)+(a^3-a^2c)=0,得(a-c)(c^2+ac-a^2)=0
因为a不等于c,所以c^2+ac-a^2=0
解得：c/a=(1/2)[（根号下5）-1]
所以存在这样的椭圆C,其离心率为(1/2)[（根号下5）-1].

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）,⊙O：x2+y2=b2,点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是⊙ （2013•枣庄一模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），⊙O：x2+y2=b2，点A，F分别是椭圆C的左如图，已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2 已知点P是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0，xy≠0)上的动点，F1（-c，0）、F2（c，0）为椭圆的左、右焦点设F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使asi 设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上顶点为A，椭圆C上两点P，Q在X轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2 设A，F分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左顶点与右焦点，若在其右准线上存在点P，使得线段PA的垂直平分线 F1F2分别是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a﹥b﹥0)的左,右焦点,A是椭圆C的顶点, 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2线与圆x2+y2=b2相切于点A，并与椭圆已知F1、F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上的点A（1，32）到F1、F2两点已知F1,F2是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a〉b〉0)的左,右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆x2+y2=